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TeX
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8 years ago
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Operationen}
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\begin{tablebox}{lll}
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$A \subseteq B$ & & A ist Teilmenge von B \\
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$A \cup B$ & A vereinigt B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$ \\
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$A \cap B$ & A geschnitten B & $A \cap B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$ \\
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$A \setminus B$ & A ohne B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$ \\
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$\mathcal{P}(A)$ & Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\
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$A \in B$ & A Element von B & A ist ein Element von B\\
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$A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Teilmengen}
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Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
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\begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen}
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\item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$
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\item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset \subset A$
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\item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$
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\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
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\end{cookbox}
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\subsection{Potenzmenge}
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Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$.\\
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Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A)
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\subsection{Kardinalität}
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Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert = \infty$
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\subsection{Komplement}
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Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge.
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\begin{cookbox}{Komplement Operationen}
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\item $A \cap \overline{A} = \emptyset$
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\item $A \cup \overline{A} = M$
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\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
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\item $\overline{\overline{A}} = A$
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\item $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
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\item $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
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\item \begin{align*}\overline{A \cap B} =& M \setminus \left( A \cap B \right) \\
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=& \left( M \setminus A \right) \cup \left( M \setminus B \right) \\
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=& \overline{A} \cup \overline{B}
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\end{align*}
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\end{cookbox}
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\end{sectionbox}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Regeln}
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\begin{cookbox}{Für zwei Mengen A und B gelten:}
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\item $A \cup A = A$
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\item $A \cap A = A$
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\item $A \cap (A \cup B) = A$
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\item $A \cup (A \cap B) = A$
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\end{cookbox}
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\begin{tablebox}{ll}
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Kommutativgesetz & $A \cup B = B \cup A$\\
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& $A \cap B = B \cap A$ \\
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\ctrule
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Assoziativgesetze & $A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C$ \\
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& $A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C$ \\
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\ctrule
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de Morganschen Regeln & $A \setminus \left( B \cap C \right) = \left( A \setminus B \right) \cup \left( A \setminus C \right)$ \\
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& $A \setminus \left( B \cup C \right) = \left( A \setminus B \right) \cap \left( A \setminus C \right)$
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\end{tablebox}
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\end{sectionbox}
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