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Mathe-Formelsammlung
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@ -82,37 +82,33 @@ Grundlage ist ein Polynom: $a{x}^{2} + bx + c = 0$
\subsection{Potenzrechnung}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{align}
\begin{align*}
{a}^{n} \cdot {a}^{m} &= {a}^{n+m} \\
{a}^{n} \cdot {b}^{n} &= {\left(a \cdot b \right)}^{n} \\
\frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } &= {a}^{n-m} \\
\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} &= {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n}
\end{align}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{align}
\begin{align*}
{e}^{lnx} &= x \\
{a}^{-n} &= \frac{1}{ {a}^{n} } \\
{-a}^{-1} &= \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1} \\
{\left({a}^{m}\right)}^{n} &= {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n}
\end{align}
\end{align*}
\end{minipage}
\subsection{Wurzelrechnung}
\begin{align}
\begin{align*}
\sqrt[n]{{a}^{m}} &= {\left({a}^{m} \right)}^{\frac{1}{n}} = {a}^{\frac{m}{n}} = {\left({a}^{\frac{1}{n}} \right)}^{m} = {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m} \\
\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} &= \sqrt[m]{{a}^{\frac{1}{n}}} = { \left( {a}^{\frac{1}{n}} \right) }^{ \frac{1}{m} } = {a}^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \\
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} &= \left({a}^{\frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {b}^{\frac{1}{n}} \right) = { \left( ab \right) }^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{ab} \\
\frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } &= \frac{ {a}^{ \frac{1}{n} } }{ {b}^{ \frac{1}{n} } } = { \left( \frac{a}{b} \right) }^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \text{ wenn } b \neq 0
\end{align}
\end{align*}
\end{sectionbox}
% Weiterführend Allgemeines
% ----------------------------------------------------------------------
% Manueller Spaltenumbruch
\begin{sectionbox}
\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung}
@ -171,8 +167,9 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
\end{sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\begin{sectionbox}
\subsection{Operationen}
\begin{tablebox}{lll}
$A \subseteq B$ & & A ist Teilmenge von B \\
@ -246,6 +243,10 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
de Morganschen Gesetz & $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ \\
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\begin{sectionbox}
\subsection{Kartesisches Produkt}
Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten Paare $\left( a , b \right)$ mit $a \in A$ und $b \in B$
@ -259,24 +260,29 @@ Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten P
\begin{sectionbox}
\subsection{Definition}
Eine (zweistellige) Relation R zwischen zwei Mengen $A\times B$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts.
Eine (zweistellige) Relation $R$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen $A$ und $B$.
$R \subseteq A\times B$
\begin{quote}
$R \subseteq A\times B$
\end{quote}
\subsection{Äquivalenzrelation}
Eine Äquivalenzrelation ist eine zweistellige Relation auf einer Ausgangsmenge M mit folgenden drei Eigenschaften:
Eine Äquivalenzrelation ist eine zweistellige Relation auf einer Ausgangsmenge $M$ mit bestimmten Eigenschaften.
\begin{itemize}
\begin{quote}
$R \subseteq M\times M$
\end{quote}
\item \textbf{Reflexivität}
\begin{cookbox}{Eigenschaften}
\item \textbf{Reflexivität}
Jedes Element der Ausgangsmenge M steht sich selbst in Beziehung.
Jedes Element der Ausgangsmenge $M$ steht mit sich selbst in Beziehung.
\begin{quote}
Für alle $a \in M$ gilt $\left( a , a \right) \in R$
\end{quote}
\begin{quote}
Für alle $a \in M$ gilt $\left( a , a \right) \in R$
\end{quote}
\item \textbf{Symmetrie}
\item \textbf{Symmetrie}
Zu jedem Paar $\left( a , b \right)$ ist auch die Umkehrung in $R$ enthalten.
@ -284,7 +290,7 @@ Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten P
Wenn $\left( a , b \right) \in R$, dann ist auch $\left( b , a \right) \in R$
\end{quote}
\item \textbf{Transitivität}
\item \textbf{Transitivität}
Stehen drei Elemente verkettet in Beziehung, dann stehen sie auch direkt in Beziehung.
@ -292,7 +298,7 @@ Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten P
Wenn $\left( a , b \right) , \left( b , c \right) \in R$ dann ist auch $\left(a , c \right) \in R$
\end{quote}
\end{itemize}
\end{cookbox}
\end{sectionbox}
@ -309,6 +315,9 @@ Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten P
$A \leftrightarrow B$ & A genau dann, wenn B & Äquivalenz oder Bijunktion \\
$A \rightarrow B$ & wenn A dann B & Implikation oder Subjunktion \\
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Regeln}
\begin{tablebox}{ll}
@ -336,7 +345,13 @@ Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten P
\ctrule
de Morganschen Regeln & $\neg \left( A \vee B \right) = \neg A \wedge \neg B$ \\
& $\neg \left( A \wedge B \right) = \neg A \vee \neg B$ \\
\ctrule
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\begin{sectionbox}
\begin{tablebox}{ll}
Umwandeln & $A \wedge B = \neg \left( A \rightarrow \neg B \right)$ \\
& $A \vee B = \neg A \rightarrow B $ \\
& $A \rightarrow B = \neg A \vee B$ \\
@ -349,20 +364,16 @@ Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten P
\end{tablebox}
\subsection{Beispiel}
Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein".
Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein". \\
Für die Aussage Anna liebt Peter setzen wir P und für Anna liebt Günther G. Die Frage lautet somit "Gilt P, oder gilt nicht P $\wedge$ G?". Formal bedeutet das:
\begin{equation}
P \vee \neg \left( P \vee G \right)
\end{equation}
\begin{quote}
$P \vee \neg \left( P \vee G \right)$ \\
\end{quote}
Da Anna mit "Nein" Antwortet muss der ganze Block negativiert werden.
\begin{equation}
\neg \left( P \vee \neg \left( P \vee G \right)\right) \\
\end{equation}
\begin{quote}
$\neg \left( P \vee \neg \left( P \vee G \right)\right)$ \\
\end{quote}
\end{sectionbox}
@ -430,11 +441,25 @@ Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten P
\end{sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\columnbreak
% Komplexe Zahlen
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Komplexe Zahlen}
\begin{sectionbox}
\subsection{Notation}
\begin{minipage}{0.39\textwidth}
\textbf{Kartesische Form}\\
$z = a+b \cdot i$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.59\textwidth}
\textbf{Trigonometrische Form / Polarform}\\
$z =\left| z \right| \cdot \left( \cos { \varphi } + i \cdot \sin { \varphi } \right)$
\end{minipage}
\subsection{Visualisierung}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{img/einheitskreis_komplexe_zahlen.png}
@ -457,13 +482,6 @@ $a = 0, b > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ & $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $
$a = 0, b < 0 $ & $\varphi = 270^\circ $ & $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi $ \\
$a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Potenzen von i}
@ -498,7 +516,7 @@ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\
& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } + { \varphi }_{ 2 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } + { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right)
\end{align*}
\textbf{Division}
\begin{align*}
\frac { z_{ 1 } }{ z_{ 2 } } &=\frac { a+bi }{ c+di } \quad =\frac { \left( a+bi \right) }{ \left( c+di \right) } \cdot \frac { \left( c-di \right) }{ \left( c-di \right) } \\
@ -507,6 +525,10 @@ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
&=\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { \left( bc-ad \right) }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } i
\end{align*}
\end{sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\begin{sectionbox}
\textbf{Potenzierung}
\begin{align*}
{ z }^{ n } &={ \left( a+bi \right) }^{ n } \\
@ -514,25 +536,13 @@ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
&={ \left| z \right| }^{ n }\cdot \left( \cos { \left( n\cdot \varphi \right) } +\sin { \left( n\cdot \varphi \right) } i \right)
\end{align*}
\textbf{Wurzel} $\lbrace k \in \mathbb{N} \vert k = 0 bis n-1 \rbrace$
\textbf{Wurzel} $\lbrace k \in \mathbb{N} \vert k = 0$ bis $n-1 \rbrace$
\begin{align*}
\sqrt[n]{z} &= \sqrt[n]{ a+bi } \\
{ z }_{ k } &= \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot \left( \cos{ \left( \cfrac{ \varphi + k \cdot 360}{n} \right) } +\sin{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n} \right)} i \right)
\end{align*}
Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.
\subsection{Formen}
\textbf{Kartesische Form:}
\begin{align*}
{ z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } & = \left( a+bi \right) \cdot \left( c+di \right) \\
& = ac+adi+bci+bd{ i }^{ 2 } \\
\end{align*}
\textbf{Trigonometrische Form:}
\begin{align*}
{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\
& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right)
\end{align*}
\end{sectionbox}
% Vektoren und Matritzen
@ -685,6 +695,9 @@ $\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}
\end{sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\columnbreak
% Grenzwerte
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Grenzwerte}

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