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Mathe-Formelsammlung
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Matritzen, Geraden und Ebenen, Vektoren, Wurzeln

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@ -64,6 +64,66 @@ Bnomischer Lehrsatz: & ${\left( a + b \right)}^{n} = \sum _{ k = 0 }^{ n }{ { a
Den Binomischen Lehrsatz kannst du auch aus dem pascalschen Dreieck entnehmen.
\subsection{Quatratische Gleichung}
\subsubsection{p-q Formel}
Grundlage ist ein Polynom: ${x}^{2} + px + q = 0$
\begin{align*}
{x}_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ {\left(\frac{p}{2}\right)}^{2} - q }
\end{align*}
\subsubsection{Mitternachtsformel}
Grundlage ist ein Polynom: $a{x}^{2} + bx + c = 0$
\begin{align*}
{x}_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2} - 4ac}}{2a}
\end{align*}
\subsection{Potenzrechnung}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{align}
{a}^{n} \cdot {a}^{m} &= {a}^{n+m} \\
{a}^{n} \cdot {b}^{n} &= {\left(a \cdot b \right)}^{n} \\
\frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } &= {a}^{n-m} \\
\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} &= {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n}
\end{align}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{align}
{e}^{lnx} &= x \\
{a}^{-n} &= \frac{1}{ {a}^{n} } \\
{-a}^{-1} &= \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1} \\
{\left({a}^{m}\right)}^{n} &= {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n}
\end{align}
\end{minipage}
\subsection{Wurzelrechnung}
\begin{align}
\sqrt[n]{{a}^{m}} &= {\left({a}^{m} \right)}^{\frac{1}{n}} = {a}^{\frac{m}{n}} = {\left({a}^{\frac{1}{n}} \right)}^{m} = {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m} \\
\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} &= \sqrt[m]{{a}^{\frac{1}{n}}} = { \left( {a}^{\frac{1}{n}} \right) }^{ \frac{1}{m} } = {a}^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \\
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} &= \left({a}^{\frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {b}^{\frac{1}{n}} \right) = { \left( ab \right) }^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{ab} \\
\frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } &= \frac{ {a}^{ \frac{1}{n} } }{ {b}^{ \frac{1}{n} } } = { \left( \frac{a}{b} \right) }^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \text{ wenn } b \neq 0
\end{align}
\end{sectionbox}
% Weiterführend Allgemeines
% ----------------------------------------------------------------------
\begin{sectionbox}
\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung}
\begin{tablebox}{lll}
Division & $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ab}{bd}$ & Multiplizieren mit dem Kehrwert \\
Multiplikation & $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ \\
Kürzen & $\frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ & Nur Faktoren, keine Summanden!! \\
\end{tablebox}
\textbf{Trick 17:} $\frac{x-1}{x+4} = \frac{x+4-5}{x+4} = \frac{x+4}{x+4} - \frac{5}{x+4} = 1 - \frac{5}{x+4}$
\subsection{Sinus \& Cosinus}
\begin{tablebox}{c|c|c|c|c}
Bogenmaß & Grad & $\sin{x}$ & $\cos{x}$ & $\tan{x}$ \\ \hline
@ -87,37 +147,6 @@ Den Binomischen Lehrsatz kannst du auch aus dem pascalschen Dreieck entnehmen.
$\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.8660254$ \\ sowie $\cfrac{1}{\sqrt{3}} \cong 0577350269$
\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung}
\begin{itemize}
\item
\(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) = Multiplikation mit Kehrwert =
\(\frac{ab}{bd}\)
\item
Brüche kürzen: nur Faktoren, nicht Summanden!
\begin{itemize}
\item
\(\frac{2}{2\ *\ 3}\) = \(\frac{2}{2}\) * \(\frac{1}{3}\) =
\(\frac{1}{3}\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{sectionbox}
% Weiterführend Allgemeines
% ----------------------------------------------------------------------
\begin{sectionbox}
\subsection{Potenzrechnung}
\begin{tablebox}{ll}
${a}^{n} \cdot {a}^{m} = {a}^{n+m}$ & $\frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } = {a}^{n-m}$ \\
${\left({a}^{m}\right)}^{n} = {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n}$ & ${a}^{n} \cdot {b}^{n} = {\left(a \cdot b \right)}^{n}$ \\
$\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} = {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n}$ & ${-a}^{-1} = \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1}$\\
${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
\end{tablebox}
\subsection{Wurzelrechnung}
\end{sectionbox}
@ -141,6 +170,10 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
\end{cookbox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Operationen}
\begin{tablebox}{lll}
$A \subseteq B$ & & A ist Teilmenge von B \\
@ -152,6 +185,7 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
$A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
\end{tablebox}
\subsection{Potenzmenge}
Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen.
\begin{quote}
@ -183,11 +217,6 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
\item De Morgen Gesetze anwenden
\item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen
\end{cookbox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Vereinfachen}
\begin{tablebox}{lll}
@ -268,9 +297,6 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
\ctrule
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Beispiel}
Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein".
@ -288,6 +314,10 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
\end{equation}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Wahrheitstafeln}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Konjunkiton} (UND)
@ -367,12 +397,7 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
$\tan\left(\varphi\right) = \cfrac{\vert b \vert}{ \vert a \vert}$ & $\cos\left(\varphi\right) = \cfrac{a}{\vert z \vert}$ & $\sin\left(\varphi\right) = \cfrac{b}{\vert z \vert}$ \\
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\begin{tablebox}{l|l|l}
\begin{tablebox}{l|l|l}
\textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\ \hline
$a > 0, b \ge 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a}$ \\
$a < 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 180^\circ $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a} + \pi $ \\
@ -381,6 +406,13 @@ $a = 0, b > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ & $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $
$a = 0, b < 0 $ & $\varphi = 270^\circ $ & $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi $ \\
$a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Potenzen von i}
@ -438,9 +470,6 @@ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
\end{align*}
Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Formen}
\textbf{Kartesische Form:}
\begin{align*}
@ -455,6 +484,156 @@ Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ bere
\end{align*}
\end{sectionbox}
% Vektoren und Matritzen
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Vektoren und Matritzen}
\begin{sectionbox}
Matritzen vom Typ (m,1) sind Vektoren (1-Spaltig). Die Zeilen eines Vektors sind auch die Dimension des Vektors. Ein Zeilen Vektor ist eine Matritze vom Typ (1, n).
\subsection{Rechenoperationen}
\subsubsection{Skalar}
Die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Matritzen mit einem Skalar (einer Zahl) c.
\begin{align*}
-1 \cdot A &= -A \\
c \cdot A &= A \cdot c = Ac = cA \\
{c}_{1} \cdot \left( {c}_{2} \cdot A \right) &= \left( {c}_{1} \cdot {c}_{2} \right) \cdot A \\\left({c}_{1} + {c}_{2} \right) \cdot A &= {c}_{1} \cdot A + {c}_{2} \cdot A \\
c \cdot \left(A + B \right) &= cA + cB
\end{align*}
\subsubsection{Multiplikation}
\begin{itemize}
\item Zeile von Matrix A mal Spalte von Matrix B
\item Matrix A muss so viele Spalten haben wie Matrix B Zeilen hat
\item Nicht Kommutativ!! $A \cdot B \neq B \cdot A$
\end{itemize}
\subsubsection{Determinante}
\begin{itemize}
\item Ist $\det A \neq 0$ dann ist die Matrix invertierbar
\item Ist $\det A = 0$ dann ist die Matrix Linear abhängig
\item Schachbrettmuster (beginnend oben links mit + - + -..)
\item Entwicklung am einfachsten nach der Spalte oder Zeile mit den meisten 0er.
\end{itemize}
\begin{align*}
A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \\
det A &= -4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \\
&= -4 \cdot \left(1*5 - 1*3\right) = -8
\end{align*}
\subsection{Inverse Matrix}
Invertierbar sind nur Matritzen des Typ (n, n) also quadratische Matritzen.
Eine Matrix ist dann Invertierbar wenn die Determinante $ \neq $ 0 ergibt.
\begin{tablebox}{ll}
${A}^{-1} \cdot A = I$ & ${\left( A \cdot B \right)}^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}$ \\
$A \cdot {A}^{-1} = I$ & $I \cdot A = A $ \\
$I \cdot {A}^{-1} = {A}^{-1}$ & \\
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
% Vektoren
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Vektoren}
\begin{sectionbox}
\subsection{Vektor Aufstellen}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{align*}
A &= \begin{pmatrix} {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3} \end{pmatrix} \\
B &= \begin{pmatrix} {b}_{1} & {b}_{2} & {b}_{3} \end{pmatrix}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{align*}
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}
{b}_{1} - {a}_{1} \\
{b}_{2} - {a}_{2} \\
{b}_{3} - {a}_{3} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{minipage}
\subsection{Rechenoperation}
\begin{tablebox}{ll}
Addition & $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + {b}_{1} \\ 2 + {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\
Multiplikation & $ \overrightarrow{a} = c \cdot \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c {b}_{1} \\ c {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\
Betrag & $ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{{{b}_{1}}^{2} + {{b}_{1}}^{2} } $ \\
Skalarpordukt & $\overrightarrow{a} \ast \overrightarrow{b} = {a}_{1}{b}_{1} + {a}_{2}{b}_{2} + {a}_{3}{b}_{3} $ \\
Kreuzprodukt (Abb. \ref{kreuzprodukt})& $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}
{a}_{2}{b}_{3} - {a}_{3}{b}_{2} \\
{a}_{3}{b}_{1} - {a}_{1}{b}_{3} \\
{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1} \\
\end{pmatrix} $ \\
\end{tablebox}
Ist das Skalarprodukt = 0 dann sind die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander!
\end{sectionbox}
% Geraden und Ebenen
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Geraden und Ebenen}
\begin{sectionbox}
\subsection{Schnittpunkte}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Gerade}
Den Schnittpunkt von zwei geraden erhält man indem man die beiden Geradengleichungen gleich setzt.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Ebene}
Bei Einer Ebene funktioniert die Berechnung des Schnittpunktes analog zu dem einer Geraden.
\end{minipage}
\subsection{Winkel}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Gerade und Gerade}
\begin{align*}
\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right|
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Gerade und Ebene}
\begin{align*}
\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right|
\end{align*}
\end{minipage}
\subsection{Formen}
\subsubsection{Geraden}
Allgemeine Form:
\begin{align*}
\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u}
\end{align*}
$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ = Richtungsvektor.
\subsubsection{Ebenen}
\begin{tablebox}{ll}
Parameterform &
$E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v} $ \\
Normalform & $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $\\
\end{tablebox}
$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$ = Spannvektor
\textbf{Umformen:}
\begin{enumerate}
\item Parameter $\rightarrow$ Normalform
\item $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren
\item $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $
\item Koordinatenform aufstellen \\
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p}$
(Normalform aus multipliziert)
\end{enumerate}
\end{sectionbox}
% ======================================================================
% End
% ======================================================================

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