You cannot select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
Mathe-Formelsammlung/themen/Mengenlehre/operations.tex

64 lines
3.2 KiB
TeX

\begin{sectionbox}
\subsection{Operationen}
\begin{tablebox}{lll}
$A \subseteq B$ & & A ist Teilmenge von B \\
$A \cup B$ & A vereinigt B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$ \\
$A \cap B$ & A geschnitten B & $A \cap B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$ \\
$A \setminus B$ & A ohne B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$ \\
$\mathcal{P}(A)$ & Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\
$A \in B$ & A Element von B & A ist ein Element von B\\
$A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
\end{tablebox}
\subsection{Teilmengen}
Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
\begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen}
\item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$
\item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset \subset A$
\item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$
\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
\end{cookbox}
\subsection{Potenzmenge}
Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$.\\
Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A)
\subsection{Kardinalität}
Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert = \infty$
\subsection{Komplement}
Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge.
\begin{cookbox}{Komplement Operationen}
\item $A \cap \overline{A} = \emptyset$
\item $A \cup \overline{A} = M$
\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
\item $\overline{\overline{A}} = A$
\item $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
\item $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
\item \begin{align*}\overline{A \cap B} =& M \setminus \left( A \cap B \right) \\
=& \left( M \setminus A \right) \cup \left( M \setminus B \right) \\
=& \overline{A} \cup \overline{B}
\end{align*}
\end{cookbox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Regeln}
\begin{cookbox}{Für zwei Mengen A und B gelten:}
\item $A \cup A = A$
\item $A \cap A = A$
\item $A \cap (A \cup B) = A$
\item $A \cup (A \cap B) = A$
\end{cookbox}
\begin{tablebox}{ll}
Kommutativgesetz & $A \cup B = B \cup A$\\
& $A \cap B = B \cap A$ \\
\ctrule
Assoziativgesetze & $A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C$ \\
& $A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C$ \\
\ctrule
de Morganschen Regeln & $A \setminus \left( B \cap C \right) = \left( A \setminus B \right) \cup \left( A \setminus C \right)$ \\
& $A \setminus \left( B \cup C \right) = \left( A \setminus B \right) \cap \left( A \setminus C \right)$
\end{tablebox}
\end{sectionbox}