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817 lines
32 KiB
TeX
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% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
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% LaTeX4EI Template for Cheat Sheets Version 1.0
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% Authors: Emanuel Regnath, Martin Zellner
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% Contact: info@latex4ei.de
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% Encode: UTF-8, tabwidth = 4, newline = LF
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% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
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% Document Settings
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% possible options: color/nocolor, english/german, threecolumn
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% defaults: color, english
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\documentclass[german]{latex4ei/latex4ei_sheet}
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% set document information
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\title{Mathematik \\ Cheat Sheet}
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\author{Sebastian Preisner} % optional, delete if unchanged
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\myemail{wbh@calyrium.org} % optional, delete if unchanged
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\mywebsite{www.calyrium.org} % optional, delete if unchanged
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% Define MathOperator
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\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}
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\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}
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\DeclareMathOperator{\arccsc}{arccsc}
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\DeclareMathOperator{\arcsinh}{asinh}
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\DeclareMathOperator{\arccoth}{acoth}
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\DeclareMathOperator{\arctanh}{atanh}
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\DeclareMathOperator{\arccosh}{acosh}
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% ======================================================================
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% Begin
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% ======================================================================
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\begin{document}
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% Title
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% ----------------------------------------------------------------------
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\maketitle % requires ./img/Logo.pdf
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% Tipps und Tricks
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% ----------------------------------------------------------------------
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\section{Allgemeines}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Zahlenmengen}\label{zahlenmengen}
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\begin{itemize}
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\item
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$\mathbb{N}$ = natürliche Zahlen = \{1, 2, 3, \ldots{}\}
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\item
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$\mathbb{Z}$ = ganze Zahlen = \{\ldots{}, -1, 0, 1, 2, \ldots{}\}
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\item
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$\mathbb{Q}$ = rationale Zahlen, z.b. \(\frac{p}{q}\) (p, q \(\in \mathbb{Z}\), q \(\neq\) 0)
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\item
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$\mathbb{R}$ = reelle Zahlen, „alle Zahlen``, z.b. \(\pi\)
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\item
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$\mathbb{C}$ = komplexe Zahlen = \{a + ib \textbar{} i = \(\sqrt{- 1}\), a,b \(\in \mathbb{R}\) \}
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\end{itemize}
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\subsection{Binomische Formeln}\label{binomische-formeln}
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\begin{tablebox}{ll}
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1. Binomische Formel: & ${\left(a + b \right)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2}$ \\
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2. Binomische Formel: & ${\left(a - b \right)}^{2} = {a}^{2} - 2ab + {b}^{2}$ \\
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3. Binomische Formel: & $\left(a + b \right) \left(a - b \right) = {a}^{2} - {b}^{2}$ \\
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Bnomischer Lehrsatz: & ${\left( a + b \right)}^{n} = \sum _{ k = 0 }^{ n }{ { a }^{ n-k }{ b }^{ k } } $ \\
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\end{tablebox}
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Den Binomischen Lehrsatz kannst du auch aus dem pascalschen Dreieck entnehmen.
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\subsection{Quatratische Gleichung}
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\subsubsection{p-q Formel}
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Grundlage ist ein Polynom: ${x}^{2} + px + q = 0$
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\begin{align*}
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{x}_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ {\left(\frac{p}{2}\right)}^{2} - q }
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\end{align*}
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\subsubsection{Mitternachtsformel}
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Grundlage ist ein Polynom: $a{x}^{2} + bx + c = 0$
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\begin{align*}
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{x}_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2} - 4ac}}{2a}
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\end{align*}
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\subsection{Potenzrechnung}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\begin{align*}
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{a}^{n} \cdot {a}^{m} &= {a}^{n+m} \\
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{a}^{n} \cdot {b}^{n} &= {\left(a \cdot b \right)}^{n} \\
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\frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } &= {a}^{n-m} \\
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\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} &= {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n}
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\end{align*}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\begin{align*}
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{e}^{lnx} &= x \\
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{a}^{-n} &= \frac{1}{ {a}^{n} } \\
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{-a}^{-1} &= \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1} \\
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{\left({a}^{m}\right)}^{n} &= {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n}
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\end{align*}
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\end{minipage}
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\subsection{Wurzelrechnung}
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\begin{align*}
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\sqrt[n]{{a}^{m}} &= {\left({a}^{m} \right)}^{\frac{1}{n}} = {a}^{\frac{m}{n}} = {\left({a}^{\frac{1}{n}} \right)}^{m} = {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m} \\
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\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} &= \sqrt[m]{{a}^{\frac{1}{n}}} = { \left( {a}^{\frac{1}{n}} \right) }^{ \frac{1}{m} } = {a}^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \\
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\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} &= \left({a}^{\frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {b}^{\frac{1}{n}} \right) = { \left( ab \right) }^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{ab} \\
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|
\frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } &= \frac{ {a}^{ \frac{1}{n} } }{ {b}^{ \frac{1}{n} } } = { \left( \frac{a}{b} \right) }^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \text{ wenn } b \neq 0
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|
\end{align*}
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\end{sectionbox}
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% Manueller Spaltenumbruch
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung}
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\begin{tablebox}{lll}
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Division & $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$ & Multiplizieren mit dem Kehrwert \\
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Multiplikation & $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ \\
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Kürzen & $\frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ & Nur Faktoren, keine Summanden!! \\
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\end{tablebox}
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\textbf{Trick 17:} $\frac{x-1}{x+4} = \frac{x+4-5}{x+4} = \frac{x+4}{x+4} - \frac{5}{x+4} = 1 - \frac{5}{x+4}$
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\subsection{Sinus \& Cosinus}
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\begin{tablebox}{c|c|c|c|c}
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Bogenmaß & Grad & $\sin{x}$ & $\cos{x}$ & $\tan{x}$ \\ \hline
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$0 \pi$ & $0^\circ$ & $0$ & $1$ & $0$\\ \hline
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$\cfrac{1}{6} \pi$ & $30^\circ$ & $\cfrac{1}{2}$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\cfrac{1}{\sqrt{3}}$\\ \hline
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$\cfrac{1}{4} \pi$ & $45^\circ$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $1$\\ \hline
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$\cfrac{1}{3} \pi$ & $60^\circ$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\cfrac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$\\ \hline
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$\cfrac{1}{2} \pi$ & $90^\circ$ & $1$ & $0$ & $\pm \infty$\\ \hline
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$\cfrac{2}{3} \pi$ & $120^\circ$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $-\cfrac{1}{2}$ & $-\sqrt{3}$\\ \hline
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$\cfrac{3}{4} \pi$ & $135^\circ$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $-1$\\ \hline
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$\cfrac{5}{6} \pi$ & $150^\circ$ & $\cfrac{1}{2}$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $-\cfrac{1}{\sqrt{3}}$\\ \hline
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$\cfrac{1}{1} \pi$ & $180^\circ$ & $0$ & $-1$ & $0$\\ \hline
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$\cfrac{7}{6} \pi$ & $210^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\cfrac{1}{\sqrt{3}}$\\ \hline
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$\cfrac{5}{4} \pi$ & $225^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $1$\\ \hline
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$\cfrac{4}{3} \pi$ & $240^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $-\cfrac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$\\ \hline
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|
$\cfrac{3}{2} \pi$ & $270^\circ$ & $-1$ & $0$ & $\pm \infty$\\ \hline
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$\cfrac{5}{3} \pi$ & $300^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\cfrac{1}{2}$ & $-\sqrt{3}$\\ \hline
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|
$\cfrac{7}{4} \pi$ & $315^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $-1$\\ \hline
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|
$\cfrac{11}{6} \pi$ & $330^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $-\cfrac{1}{\sqrt{3}}$\\ \hline
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\end{tablebox}
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$\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.8660254$ \\ sowie $\cfrac{1}{\sqrt{3}} \cong 0577350269$
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\end{sectionbox}
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% Mengenlehre
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% ----------------------------------------------------------------------
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\section{Mengenlehre}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Definition}
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Ist $E$ eine Eigenschaft, die ein Element haben kann oder auch nicht, so beschreibt man die Menge der $E$ erfüllenden Elemente durch:
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A = $\lbrace x \vert x $ hat Eigenschaft $ E \rbrace$
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\subsection{Teilmengen}
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Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
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\begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen}
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\item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$
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\item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset \subset A$
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\item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$
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\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
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\end{cookbox}
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\end{sectionbox}
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% Manueller Spaltenumbruch
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Operationen}
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\begin{tablebox}{lll}
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$A \subseteq B$ & & A ist Teilmenge von B \\
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$A \cup B$ & A vereinigt B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$ \\
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$A \cap B$ & A geschnitten B & $A \cap B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$ \\
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$A \setminus B$ & A ohne B & $A \setminus B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$ \\
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$\mathcal{P}(A)$ & Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\
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$A \in B$ & A Element von B & A ist ein Element von B\\
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$A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Potenzmenge}
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Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen.
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\begin{quote}
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Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$.
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\end{quote}
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Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A)
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\subsection{Kardinalität}
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Beschreibt die Menge aller Elemente einer Menge.
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\begin{quote}
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Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert = \infty$
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\end{quote}
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\begin{cookbox}{Beispiel}
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$M = \lbrace 1, 2\rbrace$ \\
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$P\left(M \right) = \lbrace \lbrace \rbrace, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 1, 2 \rbrace \rbrace $ \\
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Nicht jedoch $\lbrace 2,1 \rbrace$! Es gilt $\lbrace 1,2 \rbrace = \lbrace 2,1 \rbrace$.
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\end{cookbox}
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\subsection{Komplement}
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Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge.
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\subsection{Lösungsalgorithmus}
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\begin{cookbox}{Arbeitsablauf}
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\item $\setminus$ entfernen
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\item De Morgen Gesetze anwenden
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\item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen
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\end{cookbox}
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\subsection{Vereinfachen}
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\begin{tablebox}{lll}
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$A \cup A = A$ & $A \cap \emptyset = \emptyset $ & $\overline{\overline{A}} = A$ \\
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$A \cap A = A$ & $A \cup \overline{A} = G $ & $\overline{\emptyset} = G $ \\
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$A \cup G = G$ & $A \cap \overline{A} = \emptyset $ & $\overline{G} = \emptyset $ \\
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$A \cap G = A$ & $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} $ & $\emptyset \neq \lbrace \emptyset \rbrace $!!! \\
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$A \cup \emptyset = A $ & $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ & $ $ \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Regeln}
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\begin{tablebox}{ll}
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Kommutativ & $A \cup B = B \cup A$\\
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& $A \cap B = B \cap A$ \\
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\ctrule
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Assoziativ & $A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C$ \\
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& $A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C$ \\
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|
\ctrule
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|
Distributiv & $A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ \\
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|
& $A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$ \\
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|
\ctrule
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|
Adjunktiv & $A \cup \left( A \cap B \right) = A $ \\
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|
& $A \cap \left( A \cup B \right) = A$ \\
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\ctrule
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|
de Morganschen Regeln & $A \setminus \left( B \cap C \right) = \left( A \setminus B \right) \cup \left( A \setminus C \right)$ \\
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|
& $A \setminus \left( B \cup C \right) = \left( A \setminus B \right) \cap \left( A \setminus C \right)$ \\
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\ctrule
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|
de Morganschen Gesetz & $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ \\
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\end{tablebox}
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\end{sectionbox}
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% Manueller Spaltenumbruch
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Kartesisches Produkt}
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Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten Paare $\left( a , b \right)$ mit $a \in A$ und $b \in B$
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\end{sectionbox}
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|
% Relationen
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% ----------------------------------------------------------------------
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\section{Relationen}
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\begin{sectionbox}
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|
\subsection{Definition}
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Eine (zweistellige) Relation $R$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen $A$ und $B$.
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\begin{quote}
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$R \subseteq A\times B$
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\end{quote}
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\subsection{Äquivalenzrelation}
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Eine Äquivalenzrelation ist eine zweistellige Relation auf einer Ausgangsmenge $M$ mit bestimmten Eigenschaften.
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\begin{quote}
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|
$R \subseteq M\times M$
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\end{quote}
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\begin{cookbox}{Eigenschaften}
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\item \textbf{Reflexivität}
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Jedes Element der Ausgangsmenge $M$ steht mit sich selbst in Beziehung.
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\begin{quote}
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|
Für alle $a \in M$ gilt $\left( a , a \right) \in R$
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\end{quote}
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\item \textbf{Symmetrie}
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Zu jedem Paar $\left( a , b \right)$ ist auch die Umkehrung in $R$ enthalten.
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\begin{quote}
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|
Wenn $\left( a , b \right) \in R$, dann ist auch $\left( b , a \right) \in R$
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\end{quote}
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|
\item \textbf{Transitivität}
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|
Stehen drei Elemente verkettet in Beziehung, dann stehen sie auch direkt in Beziehung.
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\begin{quote}
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|
Wenn $\left( a , b \right) , \left( b , c \right) \in R$ dann ist auch $\left(a , c \right) \in R$
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|
\end{quote}
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|
\end{cookbox}
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|
\end{sectionbox}
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% Aussagenlogik
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% ----------------------------------------------------------------------
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|
\section{Aussagenlogik}
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\begin{sectionbox}
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|
\subsection{Operationen}
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\begin{tablebox}{lll}
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$A \wedge B$ & A und B & Konjunktion\\
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$A \vee B$ & A oder B & Disjunktion \\
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|
$A \leftrightarrow B$ & A genau dann, wenn B & Äquivalenz oder Bijunktion \\
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|
$A \rightarrow B$ & wenn A dann B & Implikation oder Subjunktion \\
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|
\end{tablebox}
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|
\end{sectionbox}
|
|
\begin{sectionbox}
|
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|
\subsection{Regeln}
|
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\begin{tablebox}{ll}
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Kommutativ & $A \wedge B = B \wedge A$\\
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|
& $A \vee B = B \vee A$ \\
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|
& $A \leftrightarrow B = B \leftrightarrow A$ \\
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|
\ctrule
|
|
Assoziativ & $A \wedge \left( B \wedge C \right) = \left( A \wedge B \right) \wedge C$ \\
|
|
& $A \vee \left( B \vee C \right) = \left( A \vee B \right) \vee C$ \\
|
|
& $A \leftrightarrow \left( B \leftrightarrow C \right) = \left( A \leftrightarrow B \right) \leftrightarrow C$ \\
|
|
\ctrule
|
|
Distributiv & $A \wedge \left( B \vee C \right) = \left( A \wedge B \right) \vee \left(A \wedge C \right)$ \\
|
|
& $A \vee \left( B \wedge C \right) = \left( A \vee B \right) \wedge \left(A \vee C \right)$ \\
|
|
& $A \rightarrow \left( B \vee C \right) = \left( A \rightarrow B \right) \vee \left(A \rightarrow C \right)$ \\
|
|
& $A \rightarrow \left( B \wedge C \right) = \left( A \rightarrow B \right) \wedge \left(A \rightarrow C \right)$ \\
|
|
& $\left( A \vee B \right) \rightarrow C = \left( A \rightarrow C \right) \wedge \left(B \rightarrow C \right)$ \\
|
|
& $\left( A \wedge B \right) \rightarrow C = \left( A \rightarrow C \right) \vee \left(B \rightarrow C \right)$ \\
|
|
\ctrule
|
|
Adjunktiv (Absorbtion) & $A \wedge \left( A \vee B \right) = A $ \\
|
|
& $A \vee \left( A \wedge B \right) = A$ \\
|
|
\ctrule
|
|
Klammerntausch & $A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) = \left( A \wedge B \right) \rightarrow C $ \\
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|
\ctrule
|
|
Kontraposition & $A \rightarrow B = \neg B \rightarrow \neg A $ \\
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|
\ctrule
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|
de Morganschen Regeln & $\neg \left( A \vee B \right) = \neg A \wedge \neg B$ \\
|
|
& $\neg \left( A \wedge B \right) = \neg A \vee \neg B$ \\
|
|
|
|
\end{tablebox}
|
|
\end{sectionbox}
|
|
% Manueller Spaltenumbruch
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|
\begin{sectionbox}
|
|
\begin{tablebox}{ll}
|
|
|
|
Umwandeln & $A \wedge B = \neg \left( A \rightarrow \neg B \right)$ \\
|
|
& $A \vee B = \neg A \rightarrow B $ \\
|
|
& $A \rightarrow B = \neg A \vee B$ \\
|
|
& $A \leftrightarrow B = \left( A \wedge B \right) \vee \left(\neg A \wedge \neg B \right)$ \\
|
|
& $A \leftrightarrow B = \left( \neg A \vee B \right) \wedge \left(A \vee \neg B \right)$ \\
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\ctrule
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Vereinfachen & $A \wedge \neg A = $ immer Falsch! \\
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|
& $A \vee \neg A = $ immer Richtig! \\
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& $A \wedge \neg A \vee B \wedge A = B \wedge A$ \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Beispiel}
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Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein". \\
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Für die Aussage Anna liebt Peter setzen wir P und für Anna liebt Günther G. Die Frage lautet somit "Gilt P, oder gilt nicht P $\wedge$ G?". Formal bedeutet das:
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\begin{quote}
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|
$P \vee \neg \left( P \vee G \right)$ \\
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\end{quote}
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Da Anna mit "Nein" Antwortet muss der ganze Block negativiert werden.
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\begin{quote}
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|
$\neg \left( P \vee \neg \left( P \vee G \right)\right)$ \\
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\end{quote}
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\end{sectionbox}
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|
\begin{sectionbox}
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|
\subsection{Wahrheitstafeln}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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|
\textbf{Konjunkiton} (UND)
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\begin{tablebox}{|l|l|l|}
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|
\hline
|
|
$A $ & $B$ & $A \wedge B$ \\ \hline
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|
$0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
\end{minipage}
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|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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|
\textbf{Disjunktion} (ODER)
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\begin{tablebox}{|l|l|l|}
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\hline
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|
$A $ & $B$ & $A \vee B$ \\ \hline
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|
$0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $1$ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Bijunktion} (ist richtig wenn beide gleich sind)
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\begin{tablebox}{|l|l|l|}
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|
\hline
|
|
$A $ & $B$ & $A \leftrightarrow B$ \\ \hline
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|
$0$ & $0$ & $1$ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Implikation} (aus A folgt B)
|
|
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
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|
\hline
|
|
$A $ & $B$ & $A \rightarrow B$ \\ \hline
|
|
$0$ & $0$ & $1$ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\begin{tablebox}{|l|l|l|l|l|l|l|}
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|
\hline
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|
$A $ & $B$ & $C$ & $A \wedge B$ & $A \vee B$ & $A \wedge B \rightarrow A \vee B$ & $G$\\ \hline
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|
$0$ & $0$ & $0$ & $0 $ & $0 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
|
|
$0$ & $0$ & $1$ & $0 $ & $0 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $0$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $1$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $0$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $1$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $0$ & $1 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ & $1 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
|
|
\end{sectionbox}
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|
% Manueller Spaltenumbruch
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\columnbreak
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% Komplexe Zahlen
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% ----------------------------------------------------------------------
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|
\section{Komplexe Zahlen}
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|
\begin{sectionbox}
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|
\subsection{Notation}
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\begin{minipage}{0.39\textwidth}
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|
\textbf{Kartesische Form}\\
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|
$z = a+b \cdot i$
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.59\textwidth}
|
|
\textbf{Trigonometrische Form / Polarform}\\
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|
$z =\left| z \right| \cdot \left( \cos { \varphi } + i \cdot \sin { \varphi } \right)$
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\subsection{Visualisierung}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/einheitskreis_komplexe_zahlen.png}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/visualisierung_komplexe_zahlen.png}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\begin{tablebox}{lll}
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|
$\vert z \vert = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$& $\varphi = \arctan \left( \cfrac{b}{a} \right) $ & siehe Tabelle xxx \\
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|
$\tan\left(\varphi\right) = \cfrac{\vert b \vert}{ \vert a \vert}$ & $\cos\left(\varphi\right) = \cfrac{a}{\vert z \vert}$ & $\sin\left(\varphi\right) = \cfrac{b}{\vert z \vert}$ \\
|
|
\end{tablebox}
|
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|
|
\begin{tablebox}{l|l|l}
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|
\textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\ \hline
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|
$a > 0, b \ge 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a}$ \\
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|
$a < 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 180^\circ $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a} + \pi $ \\
|
|
$a > 0, b \le 0 $ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 360^\circ $ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 2\pi $ \\
|
|
$a = 0, b > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ & $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $ \\
|
|
$a = 0, b < 0 $ & $\varphi = 270^\circ $ & $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi $ \\
|
|
$a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
|
|
\end{tablebox}
|
|
|
|
\subsection{Potenzen von i}
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|
\begin{tablebox}{ll}
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|
$i = \sqrt{-1} $ & ${ i }^{ 4 } = 1 $ \\
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|
${ i }^{ 2 } = -1$ & ${ i }^{ 5 } = i$ \\
|
|
${ i }^{ 3 } = -i$ & ${ i }^{ 6 } = -1 $... \\
|
|
\end{tablebox}
|
|
|
|
\subsection{Rechenoperationen}
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|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Addition}
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|
\begin{align*}
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|
{ z }_{ 1 } + { z }_{ 2 } &= \left(a + bi\right) + \left(c + di \right)\\
|
|
&= a + c + (b + d)i
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Subtraktion}
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|
\begin{align*}
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|
{ z }_{ 1 } - { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) - \left(c + di \right)\\
|
|
&= a - c + (b - d)i
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\textbf{Multiplikation}
|
|
\begin{align*}
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|
{ z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) \cdot \left(c + di \right) \\
|
|
&= ac + adi + bci + bd { i }^{ 2 }
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{align*}
|
|
{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\
|
|
& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } + { \varphi }_{ 2 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } + { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right)
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\textbf{Division}
|
|
\begin{align*}
|
|
\frac { z_{ 1 } }{ z_{ 2 } } &=\frac { a+bi }{ c+di } \quad =\frac { \left( a+bi \right) }{ \left( c+di \right) } \cdot \frac { \left( c-di \right) }{ \left( c-di \right) } \\
|
|
&=\frac { ac\quad -\quad adi\quad +\quad bci\quad -\quad bd{ i }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 }-{ \left( di \right) }^{ 2 } } \\
|
|
&=\frac { ac+bd+\left( bc-ad \right) i }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\
|
|
&=\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { \left( bc-ad \right) }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } i
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end{sectionbox}
|
|
% Manueller Spaltenumbruch
|
|
\begin{sectionbox}
|
|
|
|
\textbf{Potenzierung}
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|
\begin{align*}
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|
{ z }^{ n } &={ \left( a+bi \right) }^{ n } \\
|
|
&={ \left( \left| z \right| \cdot \left( \cos { \varphi } +\sin { \varphi } i \right) \right) }^{ n } \\
|
|
&={ \left| z \right| }^{ n }\cdot \left( \cos { \left( n\cdot \varphi \right) } +\sin { \left( n\cdot \varphi \right) } i \right)
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\textbf{Wurzel} $\lbrace k \in \mathbb{N} \vert k = 0$ bis $n-1 \rbrace$
|
|
\begin{align*}
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|
\sqrt[n]{z} &= \sqrt[n]{ a+bi } \\
|
|
{ z }_{ k } &= \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot \left( \cos{ \left( \cfrac{ \varphi + k \cdot 360}{n} \right) } +\sin{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n} \right)} i \right)
|
|
\end{align*}
|
|
Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.
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|
|
|
\end{sectionbox}
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|
% Vektoren und Matritzen
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% ----------------------------------------------------------------------
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|
\section{Vektoren und Matritzen}
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|
|
|
\begin{sectionbox}
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|
Matritzen vom Typ (m,1) sind Vektoren (1-Spaltig). Die Zeilen eines Vektors sind auch die Dimension des Vektors. Ein Zeilen Vektor ist eine Matritze vom Typ (1, n).
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\subsection{Rechenoperationen}
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\subsubsection{Skalar}
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Die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Matritzen mit einem Skalar (einer Zahl) c.
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\begin{align*}
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-1 \cdot A &= -A \\
|
|
c \cdot A &= A \cdot c = Ac = cA \\
|
|
{c}_{1} \cdot \left( {c}_{2} \cdot A \right) &= \left( {c}_{1} \cdot {c}_{2} \right) \cdot A \\\left({c}_{1} + {c}_{2} \right) \cdot A &= {c}_{1} \cdot A + {c}_{2} \cdot A \\
|
|
c \cdot \left(A + B \right) &= cA + cB
|
|
\end{align*}
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|
|
|
\subsubsection{Multiplikation}
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|
\begin{itemize}
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|
\item Zeile von Matrix A mal Spalte von Matrix B
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\item Matrix A muss so viele Spalten haben wie Matrix B Zeilen hat
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|
\item Nicht Kommutativ!! $A \cdot B \neq B \cdot A$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsubsection{Determinante}
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|
\begin{itemize}
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|
\item Ist $\det A \neq 0$ dann ist die Matrix invertierbar
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|
\item Ist $\det A = 0$ dann ist die Matrix Linear abhängig
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|
\item Schachbrettmuster (beginnend oben links mit + - + -..)
|
|
\item Entwicklung am einfachsten nach der Spalte oder Zeile mit den meisten 0er.
|
|
\end{itemize}
|
|
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\begin{align*}
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|
A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \\
|
|
det A &= -4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \\
|
|
&= -4 \cdot \left(1*5 - 1*3\right) = -8
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\subsection{Inverse Matrix}
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|
Invertierbar sind nur Matritzen des Typ (n, n) also quadratische Matritzen.
|
|
Eine Matrix ist dann Invertierbar wenn die Determinante $ \neq $ 0 ergibt.
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|
\begin{tablebox}{ll}
|
|
${A}^{-1} \cdot A = I$ & ${\left( A \cdot B \right)}^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}$ \\
|
|
$A \cdot {A}^{-1} = I$ & $I \cdot A = A $ \\
|
|
$I \cdot {A}^{-1} = {A}^{-1}$ & \\
|
|
\end{tablebox}
|
|
|
|
\end{sectionbox}
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|
|
|
|
|
% Vektoren
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% ----------------------------------------------------------------------
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|
\section{Vektoren}
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|
\begin{sectionbox}
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|
|
\subsection{Vektor Aufstellen}
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|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\begin{align*}
|
|
A &= \begin{pmatrix} {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3} \end{pmatrix} \\
|
|
B &= \begin{pmatrix} {b}_{1} & {b}_{2} & {b}_{3} \end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\begin{align*}
|
|
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}
|
|
{b}_{1} - {a}_{1} \\
|
|
{b}_{2} - {a}_{2} \\
|
|
{b}_{3} - {a}_{3} \\
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\subsection{Rechenoperation}
|
|
\begin{tablebox}{ll}
|
|
Addition & $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a}_{1} + {b}_{1} \\ {a}_{2} + {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\
|
|
Multiplikation & $ \overrightarrow{a} = c \cdot \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c {b}_{1} \\ c {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\
|
|
Betrag & $ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{{{a}_{1}}^{2} + {{a}_{1}}^{2} } $ \\
|
|
Skalarpordukt & $\overrightarrow{a} \ast \overrightarrow{b} = {a}_{1}{b}_{1} + {a}_{2}{b}_{2} + {a}_{3}{b}_{3} $ \\
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|
Kreuzprodukt (Abb. \ref{kreuzprodukt})& $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}
|
|
{a}_{2}{b}_{3} - {a}_{3}{b}_{2} \\
|
|
{a}_{3}{b}_{1} - {a}_{1}{b}_{3} \\
|
|
{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1} \\
|
|
\end{pmatrix} $ \\
|
|
\end{tablebox}
|
|
Ist das Skalarprodukt = 0 dann sind die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander!
|
|
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|
|
\end{sectionbox}
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|
|
% Geraden und Ebenen
|
|
% ----------------------------------------------------------------------
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|
\section{Geraden und Ebenen}
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|
|
|
\begin{sectionbox}
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|
\subsection{Schnittpunkte}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Gerade}
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|
Den Schnittpunkt von zwei geraden erhält man indem man die beiden Geradengleichungen gleich setzt.
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Ebene}
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|
Bei Einer Ebene funktioniert die Berechnung des Schnittpunktes analog zu dem einer Geraden.
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|
\end{minipage}
|
|
|
|
\subsection{Winkel}
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|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Gerade und Gerade}
|
|
\begin{align*}
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|
\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right|
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Gerade und Ebene}
|
|
\begin{align*}
|
|
\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right|
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\subsection{Formen}
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|
\subsubsection{Geraden}
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|
Allgemeine Form:
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|
\begin{align*}
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|
\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u}
|
|
\end{align*}
|
|
$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ = Richtungsvektor.
|
|
|
|
\subsubsection{Ebenen}
|
|
\begin{tablebox}{ll}
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|
Parameterform &
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|
$E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v} $ \\
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|
Normalform & $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $\\
|
|
\end{tablebox}
|
|
$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$ = Spannvektor
|
|
|
|
\textbf{Umformen:}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Parameter $\rightarrow$ Normalform
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|
\item $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren
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|
\item $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $
|
|
\item Koordinatenform aufstellen \\
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|
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p}$
|
|
(Normalform aus multipliziert)
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|
\end{enumerate}
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|
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|
\end{sectionbox}
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|
|
|
% Manueller Spaltenumbruch
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|
\columnbreak
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|
% Grenzwerte
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|
% ----------------------------------------------------------------------
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|
\section{Grenzwerte}
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|
\begin{sectionbox}
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Der Grenzwert oder Limes einer Folge ist eine Zahl, der die Folge beliebig nah kommt. Eine Folge ist \textbf{konvergent} wenn sie solch einen Wert besitzt, ansonsten \textbf{divergent}
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\subsection{Berechnung}
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Bei $n \rightarrow \infty$ teilt man durch die variable mit der höchsten Potenz, das Ergebnis ist dann der Grenzwert.
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|
\begin{align*}
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&\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{2{n}^{2} -1}{{n}^{2} + 1}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ \frac{ 2 - \frac{1}{ {n}^{2} } }{1 + \frac{ 1 }{ {n}^{2} }} } =\frac{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ 2{n}^{2} -1 } }{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ {n}^{2} + 1} } = \frac{2-0}{1+0} = 2
|
|
\end{align*}
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|
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|
\textbf{Ergebnisse}
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\begin{tablebox}{llll}
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$\frac{1}{1} = 1 $ & $\frac{1}{0} = \infty $ & $\frac{0}{1} = 0 $ & $\frac{1}{17} = \frac{1}{17}$ \\
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|
\end{tablebox}
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|
\textbf{Vorsicht} bei $\lim\limits_{n \rightarrow a}$, also Limes gegen eine Zahl a. Zunächst setzt man die Zahl a ein und prüft das Ergebnis. Es darf nicht $\frac{0}{0}$ raus kommen. Es wird sich im Zähler und/oder Nenner ein $n - a$ befinden. Die Folge muss dann in Linearfaktoren zerlegt werden und danach die 3 eingesetzt werden.
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\begin{align*}
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&\lim\limits_{x \rightarrow 1}{ \frac{ {x}^{3} - 6{x}^{2} + 5x }{ 2{x}^{2} + 32x - 34 } } = \lim\limits_{x \rightarrow 1}{ \frac{ {x} \left( x - 1 \right) \left( x - 5 \right) }{ 2 \left( x -1 \right) \left( x + 17 \right) } } \\
|
|
= &\lim\limits_{x \rightarrow 1}{ \frac{ x \left(x-5 \right) }{ 2 \left(x+17 \right) } } = \frac{-4}{36} = -\frac{1}{9}
|
|
\end{align*}
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\begin{cookbox}{Ablauf bei $\lim\limits_{n \rightarrow a}$}
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\item Schauen ob man etwas ausklammern kann oder muss
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\item Anwendung der p-q Formel um die Nullstellen zu berechnen
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\item Sind die Nullstellen ${x}_{1} = -4$ und ${x}_{2} = 5$ dann ist die Auflösung der Binomischen Formel $\left(x + 4 \right) \left( x - 5 \right)$
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|
\item Binomische Formel zur Kontrolle ausmultiplizieren
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\item Nun im Zähler und Nenner kürzen
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\item Danach wird $a$ eingesetzt und das Ergebnis ist der Grenzwert.
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\end{cookbox}
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\end{sectionbox}
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% ======================================================================
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% Ableitungen
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% ======================================================================
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\section{Ableitungshilfe}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Potenzfunktionen}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\begin{tablebox}{|l|l|}
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\hline
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Funktion & Ableitung \\ \hline
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$ {x}^{n} $ & $ n \cdot {x}^{n-1} $ \\ \hline
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$ 1 $ & $ 0 $ \\ \hline
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$ x $ & $ 1 $ \\ \hline
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$ x^2 $ & $ 2x $ \\ \hline
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$ x^3 $ & $ 3x^2 $ \\ \hline
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$ x^4 $ & $ 4x^3 $ \\ \hline
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$ \frac{1}{x} $ & $ -\frac{1}{x^2} $ \\ \hline
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$ \frac{1}{x^2} $ & $ -\frac{ 2 }{ x^3 }$ \\ \hline
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$ \frac{1}{x^3} $ & $ - \frac{3}{x^4} $ \\ \hline
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\end{tablebox}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\begin{tablebox}{|l|l|}
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\hline
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Funktion & Ableitung \\ \hline
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$ {x}^{\frac{1}{2}} $ & $ \frac{ 1 }{ 2 } x^{-\frac{1}{2}}$ \\ \hline
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$ \sqrt{x} $ & $ \frac{ 1 }{2 \sqrt{x} }$ \\ \hline
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$ \frac{1}{ \sqrt{x} } $ & $ -\frac{1}{2x\sqrt{x}} $ \\ \hline
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$ x^{\frac{3}{2}} $ & $ -\frac{ 3 }{ 2 } x^{ \frac{1}{2} }$ \\ \hline
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$ \frac{1}{x^3} $ & $ - \frac{3}{x^4} $ \\ \hline
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$ x \sqrt{x} $ & $ \frac{3}{2} \sqrt{x} $ \\ \hline
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%$ \arccot{x} $ & $ \frac{ 1 }{ 1+x^2 }$ & & \\ \hline
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$ x^{-\frac{3}{2}} $ & $ - \frac{3}{2} x^{ -\frac{5}{2} } $ \\ \hline
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\end{tablebox}
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\end{minipage}
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\subsection{Exponention und Logarithmus}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\begin{tablebox}{|l|l|}
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\hline
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Funktion & Ableitung \\ \hline
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$ e^x $ & $ e^x $ \\ \hline
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$ e^{kx} $ & $ k e^{kx} $ \\ \hline
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$ a^x $ & $ \ln{a} a^x $ \\ \hline
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\end{tablebox}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\begin{tablebox}{|l|l|}
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\hline
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Funktion & Ableitung \\ \hline
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$ \ln{x} $ & $ \frac{1}{x} $ \\ \hline
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$ a_{\log{x}} $ & $ \frac{ 1 }{ x \ln{a} }$ \\ \hline
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\end{tablebox}
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\end{minipage}
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\end{sectionbox}
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-
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% ======================================================================
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% End
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% ======================================================================
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\end{document}
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