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% LaTeX4EI Template for Cheat Sheets Version 1.0
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% Authors: Emanuel Regnath, Martin Zellner
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% Contact: info@latex4ei.de
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% Encode: UTF-8, tabwidth = 4, newline = LF
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% Document Settings
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% possible options: color/nocolor, english/german, threecolumn
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% defaults: color, english
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\documentclass[german]{latex4ei/latex4ei_sheet}
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% set document information
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\title{Mathematik \\ Cheat Sheet}
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\author{Sebastian Preisner} % optional, delete if unchanged
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\myemail{wbh@calyrium.org} % optional, delete if unchanged
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\mywebsite{www.calyrium.org} % optional, delete if unchanged
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% Begin
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\begin{document}
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% Title
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\maketitle % requires ./img/Logo.pdf
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% Mengenlehre
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% ----------------------------------------------------------------------
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\section{Mengenlehre}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Definizion}
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Ist $E$ eine Eigenschaft, die ein Element haben kann oder auch nicht, so beschreibt man die Menge der $E$ erfüllenden Elemente durch:
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A = $\lbrace x \vert x $ hat Eigenschaft $ E \rbrace$
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\subsection{Teilmengen}
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Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
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\begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen}
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\item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$
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\item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset \subset A$
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\item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$
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\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
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\end{cookbox}
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\subsection{Operationen}
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\begin{tablebox}{lll}
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$A \subseteq B$ & & A ist Teilmenge von B \\
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$A \cup B$ & A vereinigt B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$ \\
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$A \cap B$ & A geschnitten B & $A \cap B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$ \\
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$A \setminus B$ & A ohne B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$ \\
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$\mathcal{P}(A)$ & Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\
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$A \in B$ & A Element von B & A ist ein Element von B\\
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$A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Potenzmenge}
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Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen.
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\begin{quote}
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Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$.
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\end{quote}
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Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A)
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\subsection{Kardinalität}
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Beschreibt die Menge aller Elemente einer Menge.
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\begin{quote}
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Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert = \infty$
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\end{quote}
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\begin{cookbox}{Beispiel}
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$M = \lbrace 1, 2\rbrace$ \\
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$P\left(M \right) = \lbrace \lbrace \rbrace, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 1, 2 \rbrace \rbrace $ \\
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Nicht jedoch $\lbrace 2,1 \rbrace$! Es gilt $\lbrace 1,2 \rbrace = \lbrace 2,1 \rbrace$.
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\end{cookbox}
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\subsection{Komplement}
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Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge.
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\end{sectionbox}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Lösungsalgorithmus}
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\begin{cookbox}{Arbeitsablauf}
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\item $\setminus$ entfernen
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\item De Morgen Gesetze anwenden
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\item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen
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\end{cookbox}
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\begin{cookbox}{Arbeitsablauf}
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|
\item $\setminus$ entfernen
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|
\item De Morgen Gesetze anwenden
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|
\item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen
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\end{cookbox}
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\subsection{Regeln}
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\begin{tablebox}{ll}
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Kommutativ & $A \cup B = B \cup A$\\
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& $A \cap B = B \cap A$ \\
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\ctrule
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Assoziativ & $A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C$ \\
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& $A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C$ \\
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\ctrule
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Distributiv & $A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ \\
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& $A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$ \\
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\ctrule
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Adjunktiv & $A \cup \left( A \cap B \right) = A $ \\
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& $A \cap \left( A \cup B \right) = A$ \\
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\ctrule
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de Morganschen Regeln & $A \setminus \left( B \cap C \right) = \left( A \setminus B \right) \cup \left( A \setminus C \right)$ \\
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& $A \setminus \left( B \cup C \right) = \left( A \setminus B \right) \cap \left( A \setminus C \right)$ \\
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\ctrule
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de Morganschen Gesetz & $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Vereinfachen}
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\begin{tablebox}{lll}
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$A \cup A = A$ & $A \cap \emptyset = \emptyset $ & $\overline{\overline{A}} = A$ \\
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$A \cap A = A$ & $A \cup \overline{A} = G $ & $\overline{\emptyset} = G $ \\
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$A \cup G = G$ & $A \cap \overline{A} = \emptyset $ & $\overline{G} = \emptyset $ \\
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$A \cap G = A$ & $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} $ & $\emptyset \neq \lbrace \emptyset \rbrace $!!! \\
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$A \cup \emptyset = A $ & $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ & $ $ \\
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\end{tablebox}
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\end{sectionbox}
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% Komplexe Zahlen
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% ----------------------------------------------------------------------
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\section{Komplexe Zahlen}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Potenzen von i}
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\begin{tablebox}{ll}
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$i = \sqrt{-1} $ & ${ i }^{ 4 } = 1 $ \\
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${ i }^{ 2 } = -1$ & ${ i }^{ 5 } = i$ \\
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${ i }^{ 3 } = -i$ & ${ i }^{ 6 } = -1 $... \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Visualisierung}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\includegraphics[width=\textwidth]{img/einheitskreis_komplexe_zahlen.png}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\includegraphics[width=\textwidth]{img/visualisierung_komplexe_zahlen.png}
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\end{minipage}
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\begin{tablebox}{lll}
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$\vert z \vert = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$& $\varphi = \arctan \left( \cfrac{b}{a} \right) $ & siehe Tabelle xxx \\
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$\tan\left(\varphi\right) = \cfrac{\vert b \vert}{ \vert a \vert}$ & $\cos\left(\varphi\right) = \cfrac{a}{\vert z \vert}$ & $\sin\left(\varphi\right) = \cfrac{b}{\vert z \vert}$ \\
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\end{tablebox}
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\end{sectionbox}
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\begin{sectionbox}
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\begin{tablebox}{lll}
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\textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\
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$x > 0, y \ge 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{y}{x} $ & $\varphi = arctan \cfrac{y}{x}$ \\
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$x < 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{y}{x} + 180^\circ $ & $\varphi = arctan \cfrac{y}{x} + \pi $ \\
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$x > 0, y \le 0 $ & $\varphi = \arctan \cfrac{y}{x} + 360^\circ $ & $\varphi = \arctan \cfrac{y}{x} + 2\pi $ \\
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$x = 0, y > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ & $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $ \\
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$x = 0, y < 0 $ & $\varphi = 270^\circ $ & $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi $ \\
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$x = 0, y = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Formen}
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\textbf{Kartesische Form:}
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\begin{align*}
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{ z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } & = \left( a+bi \right) \cdot \left( c+di \right) \\
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& = ac+adi+bci+bd{ i }^{ 2 } \\
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\end{align*}
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\textbf{Trigonometrische Form:}
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\begin{align*}
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{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\
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|
& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right)
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\end{align*}
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\subsection{Rechenoperationen}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\textbf{Addition}
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\begin{align*}
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{ z }_{ 1 } + { z }_{ 2 } &= \left(a + bi\right) + \left(c + di \right)\\
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&= a + c + (b + d)i
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\end{align*}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
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\textbf{Subtraktion}
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\begin{align*}
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{ z }_{ 1 } - { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) - \left(c + di \right)\\
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&= a - c + (b - d)i
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\end{align*}
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\end{minipage}
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\textbf{Multiplikation}
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\begin{align*}
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{ z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) \cdot \left(c + di \right) \\
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&= ac + adi + bci + bd { i }^{ 2 }
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\end{align*}
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\begin{align*}
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{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\
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& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right)
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\end{align*}
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\textbf{Division}
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\begin{align*}
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\frac { z_{ 1 } }{ z_{ 2 } } &=\frac { a+bi }{ c+di } \quad =\frac { \left( a+bi \right) }{ \left( c+di \right) } \cdot \frac { \left( c-di \right) }{ \left( c-di \right) } \\
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&=\frac { ac\quad -\quad adi\quad +\quad bci\quad -\quad bd{ i }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 }-{ \left( di \right) }^{ 2 } } \\
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&=\frac { ac+bd+\left( bc-ad \right) i }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\
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&=\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { \left( bc-ad \right) }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } }
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\end{align*}
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\textbf{Potenzierung}
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\begin{align*}
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{ z }^{ n } &={ \left( a+bi \right) }^{ n } \\
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&={ \left( \left| z \right| \cdot \left( \cos { \varphi } +\sin { \varphi } i \right) \right) }^{ n } \\
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&={ \left| z \right| }^{ n }\cdot \left( \cos { \left( n\cdot \varphi \right) } +\sin { \left( n\cdot \varphi \right) } i \right)
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\end{align*}
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\textbf{Wurzel} $\lbrace k \in \mathbb{N} \vert k = 0 bis n-1 \rbrace$
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\begin{align*}
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\sqrt[n]{z} &= \sqrt[n]{ a+bi } \\
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{ z }_{ k } &= \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot \left( \cos{ \left( \cfrac{ \varphi + k \cdot 360}{n} \right) } +\sin{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n} \right)} i \right)
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\end{align*}
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Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.
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\end{sectionbox}
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% Tipps und Tricks
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% ----------------------------------------------------------------------
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\section{Tipps}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Sinus \& Cosinus}
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\begin{tablebox}{ll}
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$\cos 0^\circ = 1$ & $\sin 0^\circ = 0$ \\
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$\cos 30^\circ = \cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.8660254$ & $\sin 30^\circ = \cfrac{1}{2}$ \\
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$\cos 45^\circ = \cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ & $\sin 45^\circ = \cfrac{1}{\sqrt{2}} \cong 0.70710678$ \\
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|
$\cos 90^\circ = 0$ & $\sin 90^\circ = 1$ \\
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\end{tablebox}
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\end{sectionbox}
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% ======================================================================
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|
% End
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% ======================================================================
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\end{document} |