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% LaTeX4EI Template for Cheat Sheets                                Version 1.0
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% Authors: Emanuel Regnath, Martin Zellner
% Contact: info@latex4ei.de
% Encode: UTF-8, tabwidth = 4, newline = LF	
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% Document Settings
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% possible options: color/nocolor, english/german, threecolumn
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\documentclass[german]{latex4ei/latex4ei_sheet}

% set document information
\title{Mathematik \\ Cheat Sheet}
\author{Sebastian Preisner}					% optional, delete if unchanged
\myemail{wbh@calyrium.org}			% optional, delete if unchanged
\mywebsite{www.calyrium.org}			% optional, delete if unchanged


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% Begin
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\begin{document}


% Title
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\maketitle   % requires ./img/Logo.pdf


% Section
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Mengen}


\begin{sectionbox}
	\subsection{Definizion}
	Ist $E$ eine Eigenschaft, die ein Element haben kann oder auch nicht, so beschreibt man die Menge der $E$ erfüllenden Elemente durch:
	
	A = $\lbrace x \vert x $ hat Eigenschaft $ E \rbrace$
	
	
\end{sectionbox}


\begin{sectionbox}
	\subsection{Operationen}
	\begin{tablebox}{lll}
		$A \subseteq B$ &  & A ist Teilmenge von B \\
		$A \cup B$ & A vereinigt B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$ \\
		$A \cap B$ & A geschnitten B & $A \cap B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$ \\
		$A \setminus B$ & A ohne B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$ \\
		$\mathcal{P}(A)$ & Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\
		$A \in B$ & A Element von B & A ist ein Element von B\\
		$A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
	\end{tablebox}
	
	\subsection{Teilmengen}
	Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
	\begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen}
		\item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$
		\item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset \subset A$
		\item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$
		\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
	\end{cookbox}
	
	\subsection{Potenzmenge}
	Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$.\\
	Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A)
	
	\subsection{Kardinalität}
	Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert = \infty$
	
	\subsection{Komplement}
	Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge. 
	\begin{cookbox}{Komplement Operationen}
		\item $A \cap \overline{A} = \emptyset$
		\item $A \cup \overline{A} = M$
		\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
		\item $\overline{\overline{A}} = A$
		\item $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
		\item $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
		\item \begin{align*}\overline{A \cap B} =& M \setminus \left( A \cap B \right) \\
		=& \left( M \setminus A \right) \cup  \left( M \setminus B \right) \\
		=& \overline{A} \cup \overline{B}
		\end{align*} 
	\end{cookbox}
\end{sectionbox}

\begin{sectionbox}
	\subsection{Regeln}
	\begin{cookbox}{Für zwei Mengen A und B gelten:}
		\item $A \cup A = A$
		\item $A \cap A = A$
		\item $A \cap (A \cup B) = A$
		\item $A \cup (A \cap B) = A$
	\end{cookbox}
	\begin{tablebox}{ll}
	Kommutativgesetz & $A \cup B = B \cup A$\\
	& $A \cap B = B \cap A$ \\
	\ctrule
	Assoziativgesetze & $A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C$ \\
	& $A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C$ \\
	\ctrule
	de Morganschen Regeln & $A \setminus \left( B \cap C \right) = \left( A \setminus B \right) \cup \left( A \setminus C \right)$ \\
	& $A \setminus \left( B \cup C \right) = \left( A \setminus B \right) \cap \left( A \setminus C \right)$
	\end{tablebox}
\end{sectionbox}




% ======================================================================
% End
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\end{document}