diff --git a/Formelsammlung.pdf b/Formelsammlung.pdf index b4e89e6..67536cf 100644 Binary files a/Formelsammlung.pdf and b/Formelsammlung.pdf differ diff --git a/Formelsammlung.tex b/Formelsammlung.tex index 512414d..3d41aa8 100644 --- a/Formelsammlung.tex +++ b/Formelsammlung.tex @@ -64,6 +64,66 @@ Bnomischer Lehrsatz: & ${\left( a + b \right)}^{n} = \sum _{ k = 0 }^{ n }{ { a Den Binomischen Lehrsatz kannst du auch aus dem pascalschen Dreieck entnehmen. +\subsection{Quatratische Gleichung} + +\subsubsection{p-q Formel} +Grundlage ist ein Polynom: ${x}^{2} + px + q = 0$ + +\begin{align*} +{x}_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ {\left(\frac{p}{2}\right)}^{2} - q } +\end{align*} + +\subsubsection{Mitternachtsformel} +Grundlage ist ein Polynom: $a{x}^{2} + bx + c = 0$ + +\begin{align*} +{x}_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2} - 4ac}}{2a} +\end{align*} + +\subsection{Potenzrechnung} + +\begin{minipage}{0.49\textwidth} + \begin{align} + {a}^{n} \cdot {a}^{m} &= {a}^{n+m} \\ + {a}^{n} \cdot {b}^{n} &= {\left(a \cdot b \right)}^{n} \\ + \frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } &= {a}^{n-m} \\ + \frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} &= {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n} + \end{align} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.49\textwidth} + \begin{align} + {e}^{lnx} &= x \\ + {a}^{-n} &= \frac{1}{ {a}^{n} } \\ + {-a}^{-1} &= \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1} \\ + {\left({a}^{m}\right)}^{n} &= {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n} + \end{align} +\end{minipage} + +\subsection{Wurzelrechnung} + +\begin{align} + \sqrt[n]{{a}^{m}} &= {\left({a}^{m} \right)}^{\frac{1}{n}} = {a}^{\frac{m}{n}} = {\left({a}^{\frac{1}{n}} \right)}^{m} = {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m} \\ + \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} &= \sqrt[m]{{a}^{\frac{1}{n}}} = { \left( {a}^{\frac{1}{n}} \right) }^{ \frac{1}{m} } = {a}^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \\ + \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} &= \left({a}^{\frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {b}^{\frac{1}{n}} \right) = { \left( ab \right) }^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{ab} \\ +\frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } &= \frac{ {a}^{ \frac{1}{n} } }{ {b}^{ \frac{1}{n} } } = { \left( \frac{a}{b} \right) }^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \text{ wenn } b \neq 0 +\end{align} + + + +\end{sectionbox} + +% Weiterführend Allgemeines +% ---------------------------------------------------------------------- +\begin{sectionbox} + +\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung} +\begin{tablebox}{lll} +Division & $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ab}{bd}$ & Multiplizieren mit dem Kehrwert \\ +Multiplikation & $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ \\ +Kürzen & $\frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ & Nur Faktoren, keine Summanden!! \\ +\end{tablebox} +\textbf{Trick 17:} $\frac{x-1}{x+4} = \frac{x+4-5}{x+4} = \frac{x+4}{x+4} - \frac{5}{x+4} = 1 - \frac{5}{x+4}$ + \subsection{Sinus \& Cosinus} \begin{tablebox}{c|c|c|c|c} Bogenmaß & Grad & $\sin{x}$ & $\cos{x}$ & $\tan{x}$ \\ \hline @@ -87,37 +147,6 @@ Den Binomischen Lehrsatz kannst du auch aus dem pascalschen Dreieck entnehmen. $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.8660254$ \\ sowie $\cfrac{1}{\sqrt{3}} \cong 0577350269$ -\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung} -\begin{itemize} -\item - \(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) = Multiplikation mit Kehrwert = - \(\frac{ab}{bd}\) -\item - Brüche kürzen: nur Faktoren, nicht Summanden! - - \begin{itemize} - \item - \(\frac{2}{2\ *\ 3}\) = \(\frac{2}{2}\) * \(\frac{1}{3}\) = - \(\frac{1}{3}\) - \end{itemize} -\end{itemize} - -\end{sectionbox} - -% Weiterführend Allgemeines -% ---------------------------------------------------------------------- -\begin{sectionbox} - -\subsection{Potenzrechnung} -\begin{tablebox}{ll} -${a}^{n} \cdot {a}^{m} = {a}^{n+m}$ & $\frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } = {a}^{n-m}$ \\ -${\left({a}^{m}\right)}^{n} = {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n}$ & ${a}^{n} \cdot {b}^{n} = {\left(a \cdot b \right)}^{n}$ \\ -$\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} = {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n}$ & ${-a}^{-1} = \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1}$\\ -${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $ -\end{tablebox} - -\subsection{Wurzelrechnung} - \end{sectionbox} @@ -141,6 +170,10 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $ \item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$ \end{cookbox} + +\end{sectionbox} + +\begin{sectionbox} \subsection{Operationen} \begin{tablebox}{lll} $A \subseteq B$ & & A ist Teilmenge von B \\ @@ -152,6 +185,7 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $ $A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\ \end{tablebox} + \subsection{Potenzmenge} Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen. \begin{quote} @@ -183,11 +217,6 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $ \item De Morgen Gesetze anwenden \item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen \end{cookbox} - -\end{sectionbox} - - -\begin{sectionbox} \subsection{Vereinfachen} \begin{tablebox}{lll} @@ -268,9 +297,6 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $ \ctrule \end{tablebox} -\end{sectionbox} - -\begin{sectionbox} \subsection{Beispiel} Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein". @@ -288,6 +314,10 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $ \end{equation} +\end{sectionbox} + +\begin{sectionbox} + \subsection{Wahrheitstafeln} \begin{minipage}{0.49\textwidth} \textbf{Konjunkiton} (UND) @@ -367,12 +397,7 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $ $\tan\left(\varphi\right) = \cfrac{\vert b \vert}{ \vert a \vert}$ & $\cos\left(\varphi\right) = \cfrac{a}{\vert z \vert}$ & $\sin\left(\varphi\right) = \cfrac{b}{\vert z \vert}$ \\ \end{tablebox} -\end{sectionbox} - -\begin{sectionbox} - - -\begin{tablebox}{l|l|l} + \begin{tablebox}{l|l|l} \textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\ \hline $a > 0, b \ge 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a}$ \\ $a < 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 180^\circ $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a} + \pi $ \\ @@ -381,6 +406,13 @@ $a = 0, b > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ & $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $ $a = 0, b < 0 $ & $\varphi = 270^\circ $ & $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi $ \\ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\ \end{tablebox} + +\end{sectionbox} + +\begin{sectionbox} + + + \subsection{Potenzen von i} @@ -438,9 +470,6 @@ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\ \end{align*} Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden. -\end{sectionbox} - -\begin{sectionbox} \subsection{Formen} \textbf{Kartesische Form:} \begin{align*} @@ -455,6 +484,156 @@ Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ bere \end{align*} \end{sectionbox} +% Vektoren und Matritzen +% ---------------------------------------------------------------------- +\section{Vektoren und Matritzen} + +\begin{sectionbox} +Matritzen vom Typ (m,1) sind Vektoren (1-Spaltig). Die Zeilen eines Vektors sind auch die Dimension des Vektors. Ein Zeilen Vektor ist eine Matritze vom Typ (1, n). + +\subsection{Rechenoperationen} +\subsubsection{Skalar} +Die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Matritzen mit einem Skalar (einer Zahl) c. +\begin{align*} +-1 \cdot A &= -A \\ +c \cdot A &= A \cdot c = Ac = cA \\ +{c}_{1} \cdot \left( {c}_{2} \cdot A \right) &= \left( {c}_{1} \cdot {c}_{2} \right) \cdot A \\\left({c}_{1} + {c}_{2} \right) \cdot A &= {c}_{1} \cdot A + {c}_{2} \cdot A \\ +c \cdot \left(A + B \right) &= cA + cB +\end{align*} + +\subsubsection{Multiplikation} +\begin{itemize} +\item Zeile von Matrix A mal Spalte von Matrix B +\item Matrix A muss so viele Spalten haben wie Matrix B Zeilen hat +\item Nicht Kommutativ!! $A \cdot B \neq B \cdot A$ +\end{itemize} + +\subsubsection{Determinante} +\begin{itemize} +\item Ist $\det A \neq 0$ dann ist die Matrix invertierbar +\item Ist $\det A = 0$ dann ist die Matrix Linear abhängig +\item Schachbrettmuster (beginnend oben links mit + - + -..) +\item Entwicklung am einfachsten nach der Spalte oder Zeile mit den meisten 0er. +\end{itemize} + +\begin{align*} +A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \\ +det A &= -4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \\ +&= -4 \cdot \left(1*5 - 1*3\right) = -8 +\end{align*} + +\subsection{Inverse Matrix} +Invertierbar sind nur Matritzen des Typ (n, n) also quadratische Matritzen. +Eine Matrix ist dann Invertierbar wenn die Determinante $ \neq $ 0 ergibt. +\begin{tablebox}{ll} +${A}^{-1} \cdot A = I$ & ${\left( A \cdot B \right)}^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}$ \\ +$A \cdot {A}^{-1} = I$ & $I \cdot A = A $ \\ +$I \cdot {A}^{-1} = {A}^{-1}$ & \\ +\end{tablebox} + +\end{sectionbox} + + +% Vektoren +% ---------------------------------------------------------------------- +\section{Vektoren} + +\begin{sectionbox} + +\subsection{Vektor Aufstellen} + +\begin{minipage}{0.49\textwidth} +\begin{align*} + A &= \begin{pmatrix} {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3} \end{pmatrix} \\ + B &= \begin{pmatrix} {b}_{1} & {b}_{2} & {b}_{3} \end{pmatrix} +\end{align*} + +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.49\textwidth} +\begin{align*} +\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} +{b}_{1} - {a}_{1} \\ +{b}_{2} - {a}_{2} \\ +{b}_{3} - {a}_{3} \\ +\end{pmatrix} +\end{align*} +\end{minipage} + +\subsection{Rechenoperation} +\begin{tablebox}{ll} +Addition & $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + {b}_{1} \\ 2 + {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\ +Multiplikation & $ \overrightarrow{a} = c \cdot \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c {b}_{1} \\ c {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\ +Betrag & $ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{{{b}_{1}}^{2} + {{b}_{1}}^{2} } $ \\ +Skalarpordukt & $\overrightarrow{a} \ast \overrightarrow{b} = {a}_{1}{b}_{1} + {a}_{2}{b}_{2} + {a}_{3}{b}_{3} $ \\ +Kreuzprodukt (Abb. \ref{kreuzprodukt})& $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} +{a}_{2}{b}_{3} - {a}_{3}{b}_{2} \\ +{a}_{3}{b}_{1} - {a}_{1}{b}_{3} \\ +{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1} \\ +\end{pmatrix} $ \\ +\end{tablebox} +Ist das Skalarprodukt = 0 dann sind die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander! + + +\end{sectionbox} + +% Geraden und Ebenen +% ---------------------------------------------------------------------- +\section{Geraden und Ebenen} + +\begin{sectionbox} +\subsection{Schnittpunkte} +\begin{minipage}{0.49\textwidth} +\textbf{Gerade} +Den Schnittpunkt von zwei geraden erhält man indem man die beiden Geradengleichungen gleich setzt. +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.49\textwidth} +\textbf{Ebene} +Bei Einer Ebene funktioniert die Berechnung des Schnittpunktes analog zu dem einer Geraden. +\end{minipage} + +\subsection{Winkel} +\begin{minipage}{0.49\textwidth} +\textbf{Gerade und Gerade} +\begin{align*} +\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right| +\end{align*} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.49\textwidth} +\textbf{Gerade und Ebene} +\begin{align*} +\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right| +\end{align*} +\end{minipage} + +\subsection{Formen} +\subsubsection{Geraden} +Allgemeine Form: +\begin{align*} +\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u} +\end{align*} +$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ = Richtungsvektor. + +\subsubsection{Ebenen} +\begin{tablebox}{ll} +Parameterform & +$E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v} $ \\ +Normalform & $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $\\ +\end{tablebox} +$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$ = Spannvektor + +\textbf{Umformen:} +\begin{enumerate} + \item Parameter $\rightarrow$ Normalform + \item $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren + \item $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $ + \item Koordinatenform aufstellen \\ + $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p}$ + (Normalform aus multipliziert) +\end{enumerate} + + +\end{sectionbox} + % ====================================================================== % End % ======================================================================