Grenzwerte

Formelsammlung.tex

@@ -638,6 +638,33 @@ $\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}
 
 \end{sectionbox}
 
+% Grenzwerte
+% ----------------------------------------------------------------------
+\section{Grenzwerte}
+
+\begin{sectionbox}
+Der Grenzwert oder Limes einer Folge ist eine Zahl, der die Folge beliebig nah kommt. Eine Folge ist \textbf{konvergent} wenn sie solch einen Wert besitzt, ansonsten \textbf{divergent}
+
+\subsection{Berechnung}
+Bei $n \rightarrow \infty$ teilt man durch die variable mit der höchsten Potenz, das Ergebnis ist dann der Grenzwert.
+\begin{align*}
+&\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{2{n}^{2} -1}{{n}^{2} + 1}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ \frac{ 2 - \frac{1}{ {n}^{2} } }{1 + \frac{ 1 }{ {n}^{2} }} } =\frac{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ 2{n}^{2} -1 } }{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ {n}^{2} + 1} } = \frac{2-0}{1+0} = 2
+\end{align*}
+
+\textbf{Ergebnisse}
+\begin{tablebox}{llll}
+$\frac{1}{1} = 1 $ & $\frac{1}{0} = \infty $ & $\frac{0}{1} = 0 $ & $\frac{1}{17} = \frac{1}{17}$ \\
+\end{tablebox}
+
+\textbf{Vorsicht} bei $\lim\limits_{n \rightarrow a}$, also Limes gegen eine Zahl a. Zunächst setzt man die Zahl a ein und prüft das Ergebnis. Es darf nicht $\frac{0}{0}$ raus kommen. Es wird sich im Zähler und/oder Nenner ein $n - a$ befinden. Die Folge muss dann in Linearfaktoren zerlegt werden und danach die 3 eingesetzt werden. 
+\begin{align*}
+&\lim\limits_{x \rightarrow 1}{ \frac{ {x}^{3} - 6{x}^{2} + 5x }{ 2{x}^{2} + 32x - 34 } } = \lim\limits_{x \rightarrow 1}{ \frac{ {x} \left( x - 1 \right) \left( x - 5 \right) }{ 2 \left( x -1 \right) \left( x + 17 \right) } } \\
+= &\lim\limits_{x \rightarrow 1}{ \frac{ x \left(x-5 \right) }{ 2 \left(x+17 \right) } } = \frac{-4}{36} = -\frac{1}{9}
+\end{align*}
+
+
+
+\end{sectionbox}
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 % End
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