% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % LaTeX4EI Template for Cheat Sheets Version 1.0 % % Authors: Emanuel Regnath, Martin Zellner % Contact: info@latex4ei.de % Encode: UTF-8, tabwidth = 4, newline = LF % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ====================================================================== % Document Settings % ====================================================================== % possible options: color/nocolor, english/german, threecolumn % defaults: color, english \documentclass[german]{latex4ei/latex4ei_sheet} % set document information \title{Mathematik \\ Cheat Sheet} \author{Sebastian Preisner} % optional, delete if unchanged \myemail{wbh@calyrium.org} % optional, delete if unchanged \mywebsite{www.calyrium.org} % optional, delete if unchanged % ====================================================================== % Begin % ====================================================================== \begin{document} % Title % ---------------------------------------------------------------------- \maketitle % requires ./img/Logo.pdf % Mengenlehre % ---------------------------------------------------------------------- \section{Mengenlehre} \begin{sectionbox} \subsection{Definizion} Ist $E$ eine Eigenschaft, die ein Element haben kann oder auch nicht, so beschreibt man die Menge der $E$ erfüllenden Elemente durch: A = $\lbrace x \vert x $ hat Eigenschaft $ E \rbrace$ \subsection{Teilmengen} Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. \begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen} \item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$ \item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset \subset A$ \item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$ \item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$ \end{cookbox} \subsection{Operationen} \begin{tablebox}{lll} $A \subseteq B$ & & A ist Teilmenge von B \\ $A \cup B$ & A vereinigt B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$ \\ $A \cap B$ & A geschnitten B & $A \cap B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$ \\ $A \setminus B$ & A ohne B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$ \\ $\mathcal{P}(A)$ & Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\ $A \in B$ & A Element von B & A ist ein Element von B\\ $A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\ \end{tablebox} \subsection{Potenzmenge} Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen. \begin{quote} Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$. \end{quote} Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A) \subsection{Kardinalität} Beschreibt die Menge aller Elemente einer Menge. \begin{quote} Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert = \infty$ \end{quote} \begin{cookbox}{Beispiel} $M = \lbrace 1, 2\rbrace$ \\ $P\left(M \right) = \lbrace \lbrace \rbrace, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 1, 2 \rbrace \rbrace $ \\ Nicht jedoch $\lbrace 2,1 \rbrace$! Es gilt $\lbrace 1,2 \rbrace = \lbrace 2,1 \rbrace$. \end{cookbox} \subsection{Komplement} Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge. \end{sectionbox} \begin{sectionbox} \subsection{Lösungsalgorithmus} \begin{cookbox}{Arbeitsablauf} \item $\setminus$ entfernen \item De Morgen Gesetze anwenden \item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen \end{cookbox} \begin{cookbox}{Arbeitsablauf} \item $\setminus$ entfernen \item De Morgen Gesetze anwenden \item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen \end{cookbox} \subsection{Regeln} \begin{tablebox}{ll} Kommutativ & $A \cup B = B \cup A$\\ & $A \cap B = B \cap A$ \\ \ctrule Assoziativ & $A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C$ \\ & $A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C$ \\ \ctrule Distributiv & $A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ \\ & $A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$ \\ \ctrule Adjunktiv & $A \cup \left( A \cap B \right) = A $ \\ & $A \cap \left( A \cup B \right) = A$ \\ \ctrule de Morganschen Regeln & $A \setminus \left( B \cap C \right) = \left( A \setminus B \right) \cup \left( A \setminus C \right)$ \\ & $A \setminus \left( B \cup C \right) = \left( A \setminus B \right) \cap \left( A \setminus C \right)$ \\ \ctrule de Morganschen Gesetz & $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ \\ \end{tablebox} \subsection{Vereinfachen} \begin{tablebox}{lll} $A \cup A = A$ & $A \cap \emptyset = \emptyset $ & $\overline{\overline{A}} = A$ \\ $A \cap A = A$ & $A \cup \overline{A} = G $ & $\overline{\emptyset} = G $ \\ $A \cup G = G$ & $A \cap \overline{A} = \emptyset $ & $\overline{G} = \emptyset $ \\ $A \cap G = A$ & $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} $ & $\emptyset \neq \lbrace \emptyset \rbrace $!!! \\ $A \cup \emptyset = A $ & $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ & $ $ \\ \end{tablebox} \end{sectionbox} % Komplexe Zahlen % ---------------------------------------------------------------------- \section{Komplexe Zahlen} \begin{sectionbox} \subsection{Potenzen von i} \begin{tablebox}{ll} $i = \sqrt{-1} $ & ${ i }^{ 4 } = 1 $ \\ ${ i }^{ 2 } = -1$ & ${ i }^{ 5 } = i$ \\ ${ i }^{ 3 } = -i$ & ${ i }^{ 6 } = -1 $... \\ \end{tablebox} \subsection{Visualisierung} \begin{minipage}{0.49\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{img/einheitskreis_komplexe_zahlen.png} \end{minipage} \begin{minipage}{0.49\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{img/visualisierung_komplexe_zahlen.png} \end{minipage} \begin{tablebox}{lll} $\vert z \vert = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$& $\varphi = \arctan \left( \cfrac{b}{a} \right) $ & siehe Tabelle xxx \\ $\tan\left(\varphi\right) = \cfrac{\vert b \vert}{ \vert a \vert}$ & $\cos\left(\varphi\right) = \cfrac{a}{\vert z \vert}$ & $\sin\left(\varphi\right) = \cfrac{b}{\vert z \vert}$ \\ \end{tablebox} \end{sectionbox} \begin{sectionbox} \begin{tablebox}{l|l|l} \textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\ \hline $x > 0, y \ge 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{y}{x} $ & $\varphi = arctan \cfrac{y}{x}$ \\ $x < 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{y}{x} + 180^\circ $ & $\varphi = arctan \cfrac{y}{x} + \pi $ \\ $x > 0, y \le 0 $ & $\varphi = \arctan \cfrac{y}{x} + 360^\circ $ & $\varphi = \arctan \cfrac{y}{x} + 2\pi $ \\ $x = 0, y > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ & $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $ \\ $x = 0, y < 0 $ & $\varphi = 270^\circ $ & $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi $ \\ $x = 0, y = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\ \end{tablebox} \subsection{Formen} \textbf{Kartesische Form:} \begin{align*} { z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } & = \left( a+bi \right) \cdot \left( c+di \right) \\ & = ac+adi+bci+bd{ i }^{ 2 } \\ \end{align*} \textbf{Trigonometrische Form:} \begin{align*} { z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\ & =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \end{align*} \subsection{Rechenoperationen} \begin{minipage}{0.49\textwidth} \textbf{Addition} \begin{align*} { z }_{ 1 } + { z }_{ 2 } &= \left(a + bi\right) + \left(c + di \right)\\ &= a + c + (b + d)i \end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}{0.49\textwidth} \textbf{Subtraktion} \begin{align*} { z }_{ 1 } - { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) - \left(c + di \right)\\ &= a - c + (b - d)i \end{align*} \end{minipage} \textbf{Multiplikation} \begin{align*} { z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) \cdot \left(c + di \right) \\ &= ac + adi + bci + bd { i }^{ 2 } \end{align*} \begin{align*} { z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\ & =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \end{align*} \textbf{Division} \begin{align*} \frac { z_{ 1 } }{ z_{ 2 } } &=\frac { a+bi }{ c+di } \quad =\frac { \left( a+bi \right) }{ \left( c+di \right) } \cdot \frac { \left( c-di \right) }{ \left( c-di \right) } \\ &=\frac { ac\quad -\quad adi\quad +\quad bci\quad -\quad bd{ i }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 }-{ \left( di \right) }^{ 2 } } \\ &=\frac { ac+bd+\left( bc-ad \right) i }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\ &=\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { \left( bc-ad \right) }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \end{align*} \textbf{Potenzierung} \begin{align*} { z }^{ n } &={ \left( a+bi \right) }^{ n } \\ &={ \left( \left| z \right| \cdot \left( \cos { \varphi } +\sin { \varphi } i \right) \right) }^{ n } \\ &={ \left| z \right| }^{ n }\cdot \left( \cos { \left( n\cdot \varphi \right) } +\sin { \left( n\cdot \varphi \right) } i \right) \end{align*} \textbf{Wurzel} $\lbrace k \in \mathbb{N} \vert k = 0 bis n-1 \rbrace$ \begin{align*} \sqrt[n]{z} &= \sqrt[n]{ a+bi } \\ { z }_{ k } &= \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot \left( \cos{ \left( \cfrac{ \varphi + k \cdot 360}{n} \right) } +\sin{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n} \right)} i \right) \end{align*} Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden. \end{sectionbox} % Tipps und Tricks % ---------------------------------------------------------------------- \section{Tipps} \begin{sectionbox} \subsection{Sinus \& Cosinus} \begin{tablebox}{l|l} $\cos 0^\circ = 1$ & $\sin 0^\circ = 0$ \\ $\cos 30^\circ = \cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.8660254$ & $\sin 30^\circ = \cfrac{1}{2}$ \\ $\cos 45^\circ = \cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ & $\sin 45^\circ = \cfrac{1}{\sqrt{2}} \cong 0.70710678$ \\ $\cos 90^\circ = 0$ & $\sin 90^\circ = 1$ \\ \end{tablebox} \end{sectionbox} % ====================================================================== % End % ====================================================================== \end{document}