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% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
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% LaTeX4EI Template for Cheat Sheets Version 1.0
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% Authors: Emanuel Regnath, Martin Zellner
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% Contact: info@latex4ei.de
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% Encode: UTF-8, tabwidth = 4, newline = LF
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% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
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% ======================================================================
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% Document Settings
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% possible options: color/nocolor, english/german, threecolumn
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% defaults: color, english
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\documentclass[german]{latex4ei/latex4ei_sheet}
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% set document information
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\title{Mathematik \\ Cheat Sheet}
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\author{Sebastian Preisner} % optional, delete if unchanged
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\myemail{wbh@calyrium.org} % optional, delete if unchanged
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\mywebsite{www.calyrium.org} % optional, delete if unchanged
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% ======================================================================
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% Begin
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% ======================================================================
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\begin{document}
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% Title
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% ----------------------------------------------------------------------
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\maketitle % requires ./img/Logo.pdf
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% Tipps und Tricks
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% ----------------------------------------------------------------------
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\section{Allgemeines}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung}
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\begin{itemize}
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\item
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\(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) = Multiplikation mit Kehrwert =
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\(\frac{ab}{bd}\)
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\item
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|
Brüche kürzen: nur Faktoren, nicht Summanden!
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\begin{itemize}
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\item
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\(\frac{2}{2\ *\ 3}\) = \(\frac{2}{2}\) * \(\frac{1}{3}\) =
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\(\frac{1}{3}\)
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\end{itemize}
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\item
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Potenzen siehe „Expotentialfunktion``
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\end{itemize}
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\subsection{Zahlenmengen}\label{zahlenmengen}
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\begin{itemize}
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\item
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$\mathbb{N}$ = natürliche Zahlen = \{1, 2, 3, \ldots{}\}
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\item
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Z = ganze Zahlen = \{\ldots{}, -1, 0, 1, 2, \ldots{}\}
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\item
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Q = rationale Zahlen, z.b. \(\frac{p}{q}\) (p, q \(\in\) Z)
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\item
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R = reelle Zahlen, „alle Zahlen``, z.b. \(\pi\)
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\item
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C = komplexe Zahlen = \{a + ib \textbar{} i = \(\sqrt{- 1}\), a,b
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\(\in\) R\}
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\end{itemize}
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\subsection{Binomische Formeln}\label{binomische-formeln}
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\begin{enumerate}
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\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
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\item
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${(a + b)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2}$
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\item
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${(a -- b)}^{2} = {a}^{2} - 2ab + {b}^{2}$
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|
\item
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|
$(a + b) (a -- b) = {a}^{2} - {b}^{2}$
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\end{enumerate}
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\subsection{Binomischer Lehrsatz}\label{binomischer-lehrsatz}
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\begin{itemize}
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\item
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\({(a + b)}^{n}\) = \(\sum_{k = 0}^{n}{a^{n - k}b^{k}}\)
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\item
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z.b.: 1 \(\bullet\) \(a^{5} \bullet\) \(b^{0}\) + \ldots{}
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\end{itemize}
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\subsection{Sinus \& Cosinus}
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\begin{tablebox}{l|l}
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$\cos 0^\circ = 1$ & $\sin 0^\circ = 0$ \\
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$\cos 30^\circ = \cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.8660254$ & $\sin 30^\circ = \cfrac{1}{2}$ \\
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|
$\cos 45^\circ = \cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ & $\sin 45^\circ = \cfrac{1}{\sqrt{2}} \cong 0.70710678$ \\
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|
$\cos 90^\circ = 0$ & $\sin 90^\circ = 1$ \\
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\end{tablebox}
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\end{sectionbox}
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% Mengenlehre
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% ----------------------------------------------------------------------
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\section{Mengenlehre}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Definizion}
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Ist $E$ eine Eigenschaft, die ein Element haben kann oder auch nicht, so beschreibt man die Menge der $E$ erfüllenden Elemente durch:
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A = $\lbrace x \vert x $ hat Eigenschaft $ E \rbrace$
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\subsection{Teilmengen}
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Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
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\begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen}
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\item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$
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\item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset \subset A$
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\item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$
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\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
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\end{cookbox}
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\subsection{Operationen}
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\begin{tablebox}{lll}
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$A \subseteq B$ & & A ist Teilmenge von B \\
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$A \cup B$ & A vereinigt B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$ \\
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$A \cap B$ & A geschnitten B & $A \cap B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$ \\
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$A \setminus B$ & A ohne B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$ \\
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|
$\mathcal{P}(A)$ & Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\
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$A \in B$ & A Element von B & A ist ein Element von B\\
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$A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Potenzmenge}
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Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen.
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\begin{quote}
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Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$.
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\end{quote}
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Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A)
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\subsection{Kardinalität}
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Beschreibt die Menge aller Elemente einer Menge.
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\begin{quote}
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Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert = \infty$
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|
\end{quote}
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\begin{cookbox}{Beispiel}
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$M = \lbrace 1, 2\rbrace$ \\
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$P\left(M \right) = \lbrace \lbrace \rbrace, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 1, 2 \rbrace \rbrace $ \\
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|
Nicht jedoch $\lbrace 2,1 \rbrace$! Es gilt $\lbrace 1,2 \rbrace = \lbrace 2,1 \rbrace$.
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\end{cookbox}
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\subsection{Komplement}
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Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge.
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\subsection{Lösungsalgorithmus}
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\begin{cookbox}{Arbeitsablauf}
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\item $\setminus$ entfernen
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\item De Morgen Gesetze anwenden
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\item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen
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\end{cookbox}
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\end{sectionbox}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Vereinfachen}
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\begin{tablebox}{lll}
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$A \cup A = A$ & $A \cap \emptyset = \emptyset $ & $\overline{\overline{A}} = A$ \\
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|
$A \cap A = A$ & $A \cup \overline{A} = G $ & $\overline{\emptyset} = G $ \\
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$A \cup G = G$ & $A \cap \overline{A} = \emptyset $ & $\overline{G} = \emptyset $ \\
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|
$A \cap G = A$ & $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} $ & $\emptyset \neq \lbrace \emptyset \rbrace $!!! \\
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$A \cup \emptyset = A $ & $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ & $ $ \\
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\end{tablebox}
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|
\subsection{Regeln}
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\begin{tablebox}{ll}
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|
Kommutativ & $A \cup B = B \cup A$\\
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|
& $A \cap B = B \cap A$ \\
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|
\ctrule
|
|
Assoziativ & $A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C$ \\
|
|
& $A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C$ \\
|
|
\ctrule
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|
Distributiv & $A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ \\
|
|
& $A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$ \\
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|
\ctrule
|
|
Adjunktiv & $A \cup \left( A \cap B \right) = A $ \\
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|
& $A \cap \left( A \cup B \right) = A$ \\
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\ctrule
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|
de Morganschen Regeln & $A \setminus \left( B \cap C \right) = \left( A \setminus B \right) \cup \left( A \setminus C \right)$ \\
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|
& $A \setminus \left( B \cup C \right) = \left( A \setminus B \right) \cap \left( A \setminus C \right)$ \\
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|
\ctrule
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|
de Morganschen Gesetz & $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ \\
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|
\end{tablebox}
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\end{sectionbox}
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|
% Aussagenlogik
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% ----------------------------------------------------------------------
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|
\section{Aussagenlogik}
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\begin{sectionbox}
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|
\subsection{Operationen}
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\begin{tablebox}{lll}
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$A \wedge B$ & A und B & Konjunktion\\
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|
$A \vee B$ & A oder B & Disjunktion \\
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|
$A \leftrightarrow B$ & A genau dann, wenn B & Äquivalenz oder Bijunktion \\
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|
$A \rightarrow B$ & wenn A dann B & Implikation oder Subjunktion \\
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\end{tablebox}
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\subsection{Regeln}
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\begin{tablebox}{ll}
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Kommutativ & $A \wedge B = B \wedge A$\\
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& $A \vee B = B \vee A$ \\
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|
& $A \leftrightarrow B = B \leftrightarrow A$ \\
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\ctrule
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|
Assoziativ & $A \wedge \left( B \wedge C \right) = \left( A \wedge B \right) \wedge C$ \\
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|
& $A \vee \left( B \vee C \right) = \left( A \vee B \right) \vee C$ \\
|
|
& $A \leftrightarrow \left( B \leftrightarrow C \right) = \left( A \leftrightarrow B \right) \leftrightarrow C$ \\
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|
\ctrule
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|
Distributiv & $A \wedge \left( B \vee C \right) = \left( A \wedge B \right) \vee \left(A \wedge C \right)$ \\
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|
& $A \vee \left( B \wedge C \right) = \left( A \vee B \right) \wedge \left(A \vee C \right)$ \\
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|
& $A \rightarrow \left( B \vee C \right) = \left( A \rightarrow B \right) \vee \left(A \rightarrow C \right)$ \\
|
|
& $A \rightarrow \left( B \wedge C \right) = \left( A \rightarrow B \right) \wedge \left(A \rightarrow C \right)$ \\
|
|
& $\left( A \vee B \right) \rightarrow C = \left( A \rightarrow C \right) \wedge \left(B \rightarrow C \right)$ \\
|
|
& $\left( A \wedge B \right) \rightarrow C = \left( A \rightarrow C \right) \vee \left(B \rightarrow C \right)$ \\
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|
\ctrule
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|
Adjunktiv (Absorbtion) & $A \wedge \left( A \vee B \right) = A $ \\
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|
& $A \vee \left( A \wedge B \right) = A$ \\
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|
\ctrule
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|
Klammerntausch & $A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) = \left( A \wedge B \right) \rightarrow C $ \\
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\ctrule
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|
Kontraposition & $A \rightarrow B = \neg B \rightarrow \neg A $ \\
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\ctrule
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|
de Morganschen Regeln & $\neg \left( A \vee B \right) = \neg A \wedge \neg B$ \\
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|
& $\neg \left( A \wedge B \right) = \neg A \vee \neg B$ \\
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|
\ctrule
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|
Umwandeln & $A \wedge B = \neg \left( A \rightarrow \neg B \right)$ \\
|
|
& $A \vee B = \neg A \rightarrow B $ \\
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|
& $A \leftrightarrow B = \left( A \wedge B \right) \vee \left(\neg A \wedge \neg B \right)$ \\
|
|
& $A \leftrightarrow B = \left( \neg A \vee B \right) \wedge \left(A \vee \neg B \right)$ \\
|
|
\ctrule
|
|
\end{tablebox}
|
|
|
|
\end{sectionbox}
|
|
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|
\begin{sectionbox}
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\subsection{Beispiel}
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Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein".
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Für die Aussage Anna liebt Peter setzen wir P und für Anna liebt Günther G. Die Frage lautet somit "Gilt P, oder gilt nicht P $\wedge$ G?". Formal bedeutet das:
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\begin{equation}
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|
P \vee \neg \left( P \vee G \right)
|
|
\end{equation}
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|
Da Anna mit "Nein" Antwortet muss der ganze Block negativiert werden.
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\begin{equation}
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|
\neg \left( P \vee \neg \left( P \vee G \right)\right) \\
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|
\end{equation}
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|
\subsection{Wahrheitstafeln}
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\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Konjunkiton} (UND)
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\begin{tablebox}{|l|l|l|}
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|
\hline
|
|
$A $ & $B$ & $A \wedge B$ \\ \hline
|
|
$0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Disjunktion} (ODER)
|
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\begin{tablebox}{|l|l|l|}
|
|
\hline
|
|
$A $ & $B$ & $A \vee B$ \\ \hline
|
|
$0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $1$ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Bijunktion} (ist richtig wenn beide gleich sind)
|
|
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
|
|
\hline
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|
$A $ & $B$ & $A \leftrightarrow B$ \\ \hline
|
|
$0$ & $0$ & $1$ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Implikation} (aus A folgt B)
|
|
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
|
|
\hline
|
|
$A $ & $B$ & $A \rightarrow B$ \\ \hline
|
|
$0$ & $0$ & $1$ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\begin{tablebox}{|l|l|l|l|l|l|l|}
|
|
\hline
|
|
$A $ & $B$ & $C$ & $A \wedge B$ & $A \vee B$ & $A \wedge B \rightarrow A \vee B$ & $G$\\ \hline
|
|
$0$ & $0$ & $0$ & $0 $ & $0 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
|
|
$0$ & $0$ & $1$ & $0 $ & $0 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $0$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
|
|
$0$ & $1$ & $1$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $0$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
|
|
$1$ & $0$ & $1$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $0$ & $1 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
|
|
$1$ & $1$ & $1$ & $1 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
|
|
\end{tablebox}
|
|
|
|
\end{sectionbox}
|
|
|
|
% Komplexe Zahlen
|
|
% ----------------------------------------------------------------------
|
|
\section{Komplexe Zahlen}
|
|
|
|
\begin{sectionbox}
|
|
\subsection{Visualisierung}
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|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/einheitskreis_komplexe_zahlen.png}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/visualisierung_komplexe_zahlen.png}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\begin{tablebox}{lll}
|
|
$\vert z \vert = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$& $\varphi = \arctan \left( \cfrac{b}{a} \right) $ & siehe Tabelle xxx \\
|
|
$\tan\left(\varphi\right) = \cfrac{\vert b \vert}{ \vert a \vert}$ & $\cos\left(\varphi\right) = \cfrac{a}{\vert z \vert}$ & $\sin\left(\varphi\right) = \cfrac{b}{\vert z \vert}$ \\
|
|
\end{tablebox}
|
|
|
|
\end{sectionbox}
|
|
|
|
\begin{sectionbox}
|
|
|
|
|
|
\begin{tablebox}{l|l|l}
|
|
\textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\ \hline
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|
$a > 0, b \ge 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a}$ \\
|
|
$a < 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 180^\circ $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a} + \pi $ \\
|
|
$a > 0, b \le 0 $ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 360^\circ $ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 2\pi $ \\
|
|
$a = 0, b > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ & $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $ \\
|
|
$a = 0, b < 0 $ & $\varphi = 270^\circ $ & $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi $ \\
|
|
$a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
|
|
\end{tablebox}
|
|
|
|
\subsection{Potenzen von i}
|
|
|
|
\begin{tablebox}{ll}
|
|
$i = \sqrt{-1} $ & ${ i }^{ 4 } = 1 $ \\
|
|
${ i }^{ 2 } = -1$ & ${ i }^{ 5 } = i$ \\
|
|
${ i }^{ 3 } = -i$ & ${ i }^{ 6 } = -1 $... \\
|
|
\end{tablebox}
|
|
|
|
\subsection{Rechenoperationen}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Addition}
|
|
\begin{align*}
|
|
{ z }_{ 1 } + { z }_{ 2 } &= \left(a + bi\right) + \left(c + di \right)\\
|
|
&= a + c + (b + d)i
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
|
|
\textbf{Subtraktion}
|
|
\begin{align*}
|
|
{ z }_{ 1 } - { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) - \left(c + di \right)\\
|
|
&= a - c + (b - d)i
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\textbf{Multiplikation}
|
|
\begin{align*}
|
|
{ z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) \cdot \left(c + di \right) \\
|
|
&= ac + adi + bci + bd { i }^{ 2 }
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{align*}
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{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\
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& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right)
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\end{align*}
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\textbf{Division}
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\begin{align*}
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\frac { z_{ 1 } }{ z_{ 2 } } &=\frac { a+bi }{ c+di } \quad =\frac { \left( a+bi \right) }{ \left( c+di \right) } \cdot \frac { \left( c-di \right) }{ \left( c-di \right) } \\
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&=\frac { ac\quad -\quad adi\quad +\quad bci\quad -\quad bd{ i }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 }-{ \left( di \right) }^{ 2 } } \\
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&=\frac { ac+bd+\left( bc-ad \right) i }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\
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&=\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { \left( bc-ad \right) }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } }
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\end{align*}
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\textbf{Potenzierung}
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\begin{align*}
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{ z }^{ n } &={ \left( a+bi \right) }^{ n } \\
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&={ \left( \left| z \right| \cdot \left( \cos { \varphi } +\sin { \varphi } i \right) \right) }^{ n } \\
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&={ \left| z \right| }^{ n }\cdot \left( \cos { \left( n\cdot \varphi \right) } +\sin { \left( n\cdot \varphi \right) } i \right)
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\end{align*}
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\textbf{Wurzel} $\lbrace k \in \mathbb{N} \vert k = 0 bis n-1 \rbrace$
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\begin{align*}
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\sqrt[n]{z} &= \sqrt[n]{ a+bi } \\
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{ z }_{ k } &= \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot \left( \cos{ \left( \cfrac{ \varphi + k \cdot 360}{n} \right) } +\sin{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n} \right)} i \right)
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\end{align*}
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Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.
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\end{sectionbox}
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\begin{sectionbox}
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\subsection{Formen}
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\textbf{Kartesische Form:}
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\begin{align*}
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{ z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } & = \left( a+bi \right) \cdot \left( c+di \right) \\
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& = ac+adi+bci+bd{ i }^{ 2 } \\
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\end{align*}
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\textbf{Trigonometrische Form:}
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\begin{align*}
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{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\
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& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right)
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\end{align*}
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\end{sectionbox}
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% End
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\end{document} |