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Mathe-Formelsammlung
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@ -89,10 +89,6 @@
\subsection{Komplement} \subsection{Komplement}
Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge. Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge.
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Lösungsalgorithmus} \subsection{Lösungsalgorithmus}
\begin{cookbox}{Arbeitsablauf} \begin{cookbox}{Arbeitsablauf}
\item $\setminus$ entfernen \item $\setminus$ entfernen
@ -100,11 +96,19 @@
\item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen \item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen
\end{cookbox} \end{cookbox}
\begin{cookbox}{Arbeitsablauf} \end{sectionbox}
\item $\setminus$ entfernen
\item De Morgen Gesetze anwenden
\item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen \begin{sectionbox}
\end{cookbox}
\subsection{Vereinfachen}
\begin{tablebox}{lll}
$A \cup A = A$ & $A \cap \emptyset = \emptyset $ & $\overline{\overline{A}} = A$ \\
$A \cap A = A$ & $A \cup \overline{A} = G $ & $\overline{\emptyset} = G $ \\
$A \cup G = G$ & $A \cap \overline{A} = \emptyset $ & $\overline{G} = \emptyset $ \\
$A \cap G = A$ & $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} $ & $\emptyset \neq \lbrace \emptyset \rbrace $!!! \\
$A \cup \emptyset = A $ & $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ & $ $ \\
\end{tablebox}
\subsection{Regeln} \subsection{Regeln}
\begin{tablebox}{ll} \begin{tablebox}{ll}
@ -125,15 +129,136 @@
\ctrule \ctrule
de Morganschen Gesetz & $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ \\ de Morganschen Gesetz & $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ \\
\end{tablebox} \end{tablebox}
\subsection{Vereinfachen} \end{sectionbox}
% Aussagenlogik
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Aussagenlogik}
\begin{sectionbox}
\subsection{Operationen}
\begin{tablebox}{lll} \begin{tablebox}{lll}
$A \cup A = A$ & $A \cap \emptyset = \emptyset $ & $\overline{\overline{A}} = A$ \\ $A \wedge B$ & A und B & Konjunktion\\
$A \cap A = A$ & $A \cup \overline{A} = G $ & $\overline{\emptyset} = G $ \\ $A \vee B$ & A oder B & Disjunktion \\
$A \cup G = G$ & $A \cap \overline{A} = \emptyset $ & $\overline{G} = \emptyset $ \\ $A \leftrightarrow B$ & A genau dann, wenn B & Äquivalenz oder Bijunktion \\
$A \cap G = A$ & $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} $ & $\emptyset \neq \lbrace \emptyset \rbrace $!!! \\ $A \rightarrow B$ & wenn A dann B & Implikation oder Subjunktion \\
$A \cup \emptyset = A $ & $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ & $ $ \\ \end{tablebox}
\end{tablebox}
\subsection{Regeln}
\begin{tablebox}{ll}
Kommutativ & $A \wedge B = B \wedge A$\\
& $A \vee B = B \vee A$ \\
& $A \leftrightarrow B = B \leftrightarrow A$ \\
\ctrule
Assoziativ & $A \wedge \left( B \wedge C \right) = \left( A \wedge B \right) \wedge C$ \\
& $A \vee \left( B \vee C \right) = \left( A \vee B \right) \vee C$ \\
& $A \leftrightarrow \left( B \leftrightarrow C \right) = \left( A \leftrightarrow B \right) \leftrightarrow C$ \\
\ctrule
Distributiv & $A \wedge \left( B \vee C \right) = \left( A \wedge B \right) \vee \left(A \wedge C \right)$ \\
& $A \vee \left( B \wedge C \right) = \left( A \vee B \right) \wedge \left(A \vee C \right)$ \\
& $A \rightarrow \left( B \vee C \right) = \left( A \rightarrow B \right) \vee \left(A \rightarrow C \right)$ \\
& $A \rightarrow \left( B \wedge C \right) = \left( A \rightarrow B \right) \wedge \left(A \rightarrow C \right)$ \\
& $\left( A \vee B \right) \rightarrow C = \left( A \rightarrow C \right) \wedge \left(B \rightarrow C \right)$ \\
& $\left( A \wedge B \right) \rightarrow C = \left( A \rightarrow C \right) \vee \left(B \rightarrow C \right)$ \\
\ctrule
Adjunktiv (Absorbtion) & $A \wedge \left( A \vee B \right) = A $ \\
& $A \vee \left( A \wedge B \right) = A$ \\
\ctrule
Klammerntausch & $A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) = \left( A \wedge B \right) \rightarrow C $ \\
\ctrule
Kontraposition & $A \rightarrow B = \neg B \rightarrow \neg A $ \\
\ctrule
de Morganschen Regeln & $\neg \left( A \vee B \right) = \neg A \wedge \neg B$ \\
& $\neg \left( A \wedge B \right) = \neg A \vee \neg B$ \\
\ctrule
Umwandeln & $A \wedge B = \neg \left( A \rightarrow \neg B \right)$ \\
& $A \vee B = \neg A \rightarrow B $ \\
& $A \leftrightarrow B = \left( A \wedge B \right) \vee \left(\neg A \wedge \neg B \right)$ \\
& $A \leftrightarrow B = \left( \neg A \vee B \right) \wedge \left(A \vee \neg B \right)$ \\
\ctrule
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Beispiel}
Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein".
Für die Aussage Anna liebt Peter setzen wir P und für Anna liebt Günther G. Die Frage lautet somit "Gilt P, oder gilt nicht P $\wedge$ G?". Formal bedeutet das:
\begin{equation}
P \vee \neg \left( P \vee G \right)
\end{equation}
Da Anna mit "Nein" Antwortet muss der ganze Block negativiert werden.
\begin{equation}
\neg \left( P \vee \neg \left( P \vee G \right)\right) \\
\end{equation}
\subsection{Wahrheitstafeln}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Konjunkiton} (UND)
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
\hline
$A $ & $B$ & $A \wedge B$ \\ \hline
$0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$0$ & $1$ & $0$ \\ \hline
$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Disjunktion} (ODER)
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
\hline
$A $ & $B$ & $A \vee B$ \\ \hline
$0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
$1$ & $0$ & $1$ \\ \hline
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Bijunktion} (ist richtig wenn beide gleich sind)
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
\hline
$A $ & $B$ & $A \leftrightarrow B$ \\ \hline
$0$ & $0$ & $1$ \\ \hline
$0$ & $1$ & $0$ \\ \hline
$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Implikation} (aus A folgt B)
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
\hline
$A $ & $B$ & $A \rightarrow B$ \\ \hline
$0$ & $0$ & $1$ \\ \hline
$0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{tablebox}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
$A $ & $B$ & $C$ & $A \wedge B$ & $A \vee B$ & $A \wedge B \rightarrow A \vee B$ & $G$\\ \hline
$0$ & $0$ & $0$ & $0 $ & $0 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
$0$ & $0$ & $1$ & $0 $ & $0 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
$0$ & $1$ & $0$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
$0$ & $1$ & $1$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
$1$ & $0$ & $0$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
$1$ & $0$ & $1$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
$1$ & $1$ & $0$ & $1 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
$1$ & $1$ & $1$ & $1 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
\end{tablebox}
\end{sectionbox} \end{sectionbox}
% Komplexe Zahlen % Komplexe Zahlen
@ -141,14 +266,6 @@
\section{Komplexe Zahlen} \section{Komplexe Zahlen}
\begin{sectionbox} \begin{sectionbox}
\subsection{Potenzen von i}
\begin{tablebox}{ll}
$i = \sqrt{-1} $ & ${ i }^{ 4 } = 1 $ \\
${ i }^{ 2 } = -1$ & ${ i }^{ 5 } = i$ \\
${ i }^{ 3 } = -i$ & ${ i }^{ 6 } = -1 $... \\
\end{tablebox}
\subsection{Visualisierung} \subsection{Visualisierung}
\begin{minipage}{0.49\textwidth} \begin{minipage}{0.49\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{img/einheitskreis_komplexe_zahlen.png} \includegraphics[width=\textwidth]{img/einheitskreis_komplexe_zahlen.png}
@ -166,6 +283,7 @@
\begin{sectionbox} \begin{sectionbox}
\begin{tablebox}{l|l|l} \begin{tablebox}{l|l|l}
\textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\ \hline \textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\ \hline
$a > 0, b \ge 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a}$ \\ $a > 0, b \ge 0$ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a}$ \\
@ -176,20 +294,13 @@ $a = 0, b < 0 $ & $\varphi = 270^\circ $ & $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi
$a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
\end{tablebox} \end{tablebox}
\subsection{Potenzen von i}
\begin{tablebox}{ll}
\subsection{Formen} $i = \sqrt{-1} $ & ${ i }^{ 4 } = 1 $ \\
\textbf{Kartesische Form:} ${ i }^{ 2 } = -1$ & ${ i }^{ 5 } = i$ \\
\begin{align*} ${ i }^{ 3 } = -i$ & ${ i }^{ 6 } = -1 $... \\
{ z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } & = \left( a+bi \right) \cdot \left( c+di \right) \\ \end{tablebox}
& = ac+adi+bci+bd{ i }^{ 2 } \\
\end{align*}
\textbf{Trigonometrische Form:}
\begin{align*}
{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\
& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right)
\end{align*}
\subsection{Rechenoperationen} \subsection{Rechenoperationen}
\begin{minipage}{0.49\textwidth} \begin{minipage}{0.49\textwidth}
@ -241,6 +352,21 @@ Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ bere
\end{sectionbox} \end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Formen}
\textbf{Kartesische Form:}
\begin{align*}
{ z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } & = \left( a+bi \right) \cdot \left( c+di \right) \\
& = ac+adi+bci+bd{ i }^{ 2 } \\
\end{align*}
\textbf{Trigonometrische Form:}
\begin{align*}
{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right) \\
& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } } +\sin { \left( { \varphi }_{ 1 } \right) } \cdot \sin { \left( { \varphi }_{ 2 } \right) } i \right)
\end{align*}
\end{sectionbox}
% Tipps und Tricks % Tipps und Tricks
% ---------------------------------------------------------------------- % ----------------------------------------------------------------------
\section{Tipps} \section{Tipps}

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