@ -82,37 +82,33 @@ Grundlage ist ein Polynom: $a{x}^{2} + bx + c = 0$
\subsection { Potenzrechnung}
\begin { minipage} { 0.49\textwidth }
\begin { align}
\begin { align* }
{ a} ^ { n} \cdot { a} ^ { m} & = { a} ^ { n+m} \\
{ a} ^ { n} \cdot { b} ^ { n} & = { \left (a \cdot b \right )} ^ { n} \\
\frac { { a} ^ { n} } { { a} ^ { m} } & = { a} ^ { n-m} \\
\frac { { a} ^ { n} } { { b} ^ { n} } & = { \left (\cfrac { a} { b} \right )} ^ { n}
\end { align}
\end { align* }
\end { minipage}
\begin { minipage} { 0.49\textwidth }
\begin { align}
\begin { align* }
{ e} ^ { lnx} & = x \\
{ a} ^ { -n} & = \frac { 1} { { a} ^ { n} } \\
{ -a} ^ { -1} & = \cfrac { -1} { a} = \cfrac { { a} ^ { -1} } { -1} \\
{ \left ({ a} ^ { m} \right )} ^ { n} & = { \left ({ a} ^ { n} \right )} ^ { m} = { a} ^ { m \cdot n}
\end { align}
\end { align* }
\end { minipage}
\subsection { Wurzelrechnung}
\begin { align}
\begin { align* }
\sqrt [n] { { a} ^ { m} } & = { \left ({ a} ^ { m} \right )} ^ { \frac { 1} { n} } = { a} ^ { \frac { m} { n} } = { \left ({ a} ^ { \frac { 1} { n} } \right )} ^ { m} = { \left (\sqrt [n] { a} \right )} ^ { m} \\
\sqrt [m] { \sqrt [n] { a} } & = \sqrt [m] { { a} ^ { \frac { 1} { n} } } = { \left ( { a} ^ { \frac { 1} { n} } \right ) } ^ { \frac { 1} { m} } = { a} ^ { \frac { 1} { m \cdot n} } = \sqrt [m \cdot n] { a} \\
\sqrt [n] { a} \cdot \sqrt [n] { b} & = \left ({ a} ^ { \frac { 1} { n} } \right ) \cdot \left ( { b} ^ { \frac { 1} { n} } \right ) = { \left ( ab \right ) } ^ { \frac { 1} { n} } = \sqrt [n] { ab} \\
\frac { \sqrt [n] { a} } { \sqrt [n] { b} } & = \frac { { a} ^ { \frac { 1} { n} } } { { b} ^ { \frac { 1} { n} } } = { \left ( \frac { a} { b} \right ) } ^ { \frac { 1} { n} } = \sqrt [n] { \frac { a} { b} } \text { wenn } b \neq 0
\end { align}
\end { align*}
\end { sectionbox}
% Weiterführend Allgemeines
% ----------------------------------------------------------------------
% Manueller Spaltenumbruch
\begin { sectionbox}
\subsection { Bruchrechnung} \label { bruchrechnung}
@ -171,8 +167,9 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
\end { sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\begin { sectionbox}
\subsection { Operationen}
\begin { tablebox} { lll}
$ A \subseteq B $ & & A ist Teilmenge von B \\
@ -246,6 +243,63 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
de Morganschen Gesetz & $ A \setminus B = A \cap \overline { B } $ \\
\end { tablebox}
\end { sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\begin { sectionbox}
\subsection { Kartesisches Produkt}
Das kartesische Produkt $ A \times B $ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten Paare $ \left ( a , b \right ) $ mit $ a \in A $ und $ b \in B $
\end { sectionbox}
% Relationen
% ----------------------------------------------------------------------
\section { Relationen}
\begin { sectionbox}
\subsection { Definition}
Eine (zweistellige) Relation $ R $ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen $ A $ und $ B $ .
\begin { quote}
$ R \subseteq A \times B $
\end { quote}
\subsection { Äquivalenzrelation}
Eine Äquivalenzrelation ist eine zweistellige Relation auf einer Ausgangsmenge $ M $ mit bestimmten Eigenschaften.
\begin { quote}
$ R \subseteq M \times M $
\end { quote}
\begin { cookbox} { Eigenschaften}
\item \textbf { Reflexivität}
Jedes Element der Ausgangsmenge $ M $ steht mit sich selbst in Beziehung.
\begin { quote}
Für alle $ a \in M $ gilt $ \left ( a , a \right ) \in R $
\end { quote}
\item \textbf { Symmetrie}
Zu jedem Paar $ \left ( a , b \right ) $ ist auch die Umkehrung in $ R $ enthalten.
\begin { quote}
Wenn $ \left ( a , b \right ) \in R $ , dann ist auch $ \left ( b , a \right ) \in R $
\end { quote}
\item \textbf { Transitivität}
Stehen drei Elemente verkettet in Beziehung, dann stehen sie auch direkt in Beziehung.
\begin { quote}
Wenn $ \left ( a , b \right ) , \left ( b , c \right ) \in R $ dann ist auch $ \left ( a , c \right ) \in R $
\end { quote}
\end { cookbox}
\end { sectionbox}
% Aussagenlogik
@ -261,6 +315,9 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
$ A \leftrightarrow B $ & A genau dann, wenn B & Äquivalenz oder Bijunktion \\
$ A \rightarrow B $ & wenn A dann B & Implikation oder Subjunktion \\
\end { tablebox}
\end { sectionbox}
\begin { sectionbox}
\subsection { Regeln}
\begin { tablebox} { ll}
@ -288,7 +345,13 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
\ctrule
de Morganschen Regeln & $ \neg \left ( A \vee B \right ) = \neg A \wedge \neg B $ \\
& $ \neg \left ( A \wedge B \right ) = \neg A \vee \neg B $ \\
\ctrule
\end { tablebox}
\end { sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\begin { sectionbox}
\begin { tablebox} { ll}
Umwandeln & $ A \wedge B = \neg \left ( A \rightarrow \neg B \right ) $ \\
& $ A \vee B = \neg A \rightarrow B $ \\
& $ A \rightarrow B = \neg A \vee B $ \\
@ -301,20 +364,16 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
\end { tablebox}
\subsection { Beispiel}
Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein".
Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein". \\
Für die Aussage Anna liebt Peter setzen wir P und für Anna liebt Günther G. Die Frage lautet somit "Gilt P, oder gilt nicht P $ \wedge $ G?". Formal bedeutet das:
\begin { equation}
P \vee \neg \left ( P \vee G \right )
\end { equation}
\begin { quote}
$ P \vee \neg \left ( P \vee G \right ) $ \\
\end { quote}
Da Anna mit "Nein" Antwortet muss der ganze Block negativiert werden.
\begin { equation}
\neg \left ( P \vee \neg \left ( P \vee G \right )\right ) \\
\end { equation}
\begin { quote}
$ \neg \left ( P \vee \neg \left ( P \vee G \right ) \right ) $ \\
\end { quote}
\end { sectionbox}
@ -382,11 +441,25 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
\end { sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\columnbreak
% Komplexe Zahlen
% ----------------------------------------------------------------------
\section { Komplexe Zahlen}
\begin { sectionbox}
\subsection { Notation}
\begin { minipage} { 0.39\textwidth }
\textbf { Kartesische Form} \\
$ z = a + b \cdot i $
\end { minipage}
\begin { minipage} { 0.59\textwidth }
\textbf { Trigonometrische Form / Polarform} \\
$ z = \left | z \right | \cdot \left ( \cos { \varphi } + i \cdot \sin { \varphi } \right ) $
\end { minipage}
\subsection { Visualisierung}
\begin { minipage} { 0.49\textwidth }
\includegraphics [width=\textwidth] { img/einheitskreis_ komplexe_ zahlen.png}
@ -409,13 +482,6 @@ $a = 0, b > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ & $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $
$ a = 0 , b < 0 $ & $ \varphi = 270 ^ \circ $ & $ \varphi = \cfrac { 3 } { 2 } \pi $ \\
$ a = 0 , b = 0 $ & $ \varphi = 0 ^ \circ $ & $ \varphi = 0 $ \\
\end { tablebox}
\end { sectionbox}
\begin { sectionbox}
\subsection { Potenzen von i}
@ -450,7 +516,7 @@ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
{ z } _ { 1 } \cdot { z } _ { 2 } & =\left | { z } _ { 1 } \right | \left ( \cos { \left ( { \varphi } _ { 1 } \right ) } +\sin { \left ( { \varphi } _ { 1 } \right ) } i \right ) \cdot \left | { z } _ { 2 } \right | \left ( \cos { \left ( { \varphi } _ { 2 } \right ) } \cdot \sin { \left ( { \varphi } _ { 2 } \right ) } i \right ) \\
& =\left | { z } _ { 1 } \right | \cdot \left | { z } _ { 2 } \right | \left ( \cos { \left ( { \varphi } _ { 1 } + { \varphi } _ { 2 } \right ) } +\sin { \left ( { \varphi } _ { 1 } + { \varphi } _ { 2 } \right ) } i \right )
\end { align*}
\textbf { Division}
\begin { align*}
\frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } & =\frac { a+bi } { c+di } \quad =\frac { \left ( a+bi \right ) } { \left ( c+di \right ) } \cdot \frac { \left ( c-di \right ) } { \left ( c-di \right ) } \\
@ -459,6 +525,10 @@ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
& =\frac { ac+bd } { { c } ^ { 2 } +{ d } ^ { 2 } } +\frac { \left ( bc-ad \right ) } { { c } ^ { 2 } +{ d } ^ { 2 } } i
\end { align*}
\end { sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\begin { sectionbox}
\textbf { Potenzierung}
\begin { align*}
{ z } ^ { n } & ={ \left ( a+bi \right ) } ^ { n } \\
@ -466,25 +536,13 @@ $a = 0, b = 0 $ & $\varphi = 0^\circ $ & $\varphi = 0 $ \\
& ={ \left | z \right | } ^ { n } \cdot \left ( \cos { \left ( n\cdot \varphi \right ) } +\sin { \left ( n\cdot \varphi \right ) } i \right )
\end { align*}
\textbf { Wurzel} $ \lbrace k \in \mathbb { N } \vert k = 0 bis - 1 \rbrace $
\textbf { Wurzel} $ \lbrace k \in \mathbb { N } \vert k = 0 $ bis $ - 1 \rbrace $
\begin { align*}
\sqrt [n] { z} & = \sqrt [n] { a+bi } \\
{ z } _ { k } & = \sqrt [n] { \vert z \vert } \cdot \left ( \cos { \left ( \cfrac { \varphi + k \cdot 360} { n} \right ) } +\sin { \left ( \cfrac { \varphi + k \cdot 360} { n} \right )} i \right )
\end { align*}
Es gibt immer $ n $ Ergebnisse die in $ { z } _ { k } $ für $ k = 0 $ bis $ k = n - 1 $ berechnet werden.
\subsection { Formen}
\textbf { Kartesische Form:}
\begin { align*}
{ z } _ { 1 } \cdot { z } _ { 2 } & = \left ( a+bi \right ) \cdot \left ( c+di \right ) \\
& = ac+adi+bci+bd{ i } ^ { 2 } \\
\end { align*}
\textbf { Trigonometrische Form:}
\begin { align*}
{ z } _ { 1 } \cdot { z } _ { 2 } & =\left | { z } _ { 1 } \right | \left ( \cos { \left ( { \varphi } _ { 1 } \right ) } +\sin { \left ( { \varphi } _ { 1 } \right ) } i \right ) \cdot \left | { z } _ { 2 } \right | \left ( \cos { \left ( { \varphi } _ { 2 } \right ) } \cdot \sin { \left ( { \varphi } _ { 2 } \right ) } i \right ) \\
& =\left | { z } _ { 1 } \right | \cdot \left | { z } _ { 2 } \right | \left ( \cos { \left ( { \varphi } _ { 1 } \right ) \cdot \cos { \left ( { \varphi } _ { 2 } \right ) } } +\sin { \left ( { \varphi } _ { 1 } \right ) } \cdot \sin { \left ( { \varphi } _ { 2 } \right ) } i \right )
\end { align*}
\end { sectionbox}
% Vektoren und Matritzen
@ -637,6 +695,9 @@ $\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}
\end { sectionbox}
% Manueller Spaltenumbruch
\columnbreak
% Grenzwerte
% ----------------------------------------------------------------------
\section { Grenzwerte}