Relationen überarbeitet, Anordnung angepasst und diverse Optimierungen

Formelsammlung.tex

@@ -82,37 +82,33 @@ Grundlage ist ein Polynom: $a{x}^{2} + bx + c = 0$
 \subsection{Potenzrechnung}
 
 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
-	\begin{align}
+	\begin{align*}
 		{a}^{n} \cdot {a}^{m} &= {a}^{n+m} \\
 		{a}^{n} \cdot {b}^{n} &= {\left(a \cdot b \right)}^{n} \\
 		\frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } &= {a}^{n-m} \\
 		\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} &= {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n} 
-	\end{align}
+	\end{align*}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
-	\begin{align}
+	\begin{align*}
 		{e}^{lnx} &= x \\
 		{a}^{-n} &= \frac{1}{ {a}^{n} } \\
 		{-a}^{-1} &= \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1} \\
 		{\left({a}^{m}\right)}^{n} &= {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n}
-	\end{align}
+	\end{align*}
 \end{minipage}
 
 \subsection{Wurzelrechnung}
 
-\begin{align}
+\begin{align*}
 	\sqrt[n]{{a}^{m}} &= {\left({a}^{m} \right)}^{\frac{1}{n}} = {a}^{\frac{m}{n}} = {\left({a}^{\frac{1}{n}} \right)}^{m} = {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m} \\
 	\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} &= \sqrt[m]{{a}^{\frac{1}{n}}} = { \left( {a}^{\frac{1}{n}} \right) }^{ \frac{1}{m} } = {a}^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \\
 	\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} &= \left({a}^{\frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {b}^{\frac{1}{n}} \right) = { \left( ab \right) }^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{ab} \\
 \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } &= \frac{ {a}^{ \frac{1}{n} } }{ {b}^{ \frac{1}{n} } } = { \left( \frac{a}{b} \right) }^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \text{   wenn } b  \neq 0	
-\end{align}
-
-
+\end{align*}
 
 \end{sectionbox}
-
-% Weiterführend Allgemeines
-% ----------------------------------------------------------------------
+% Manueller Spaltenumbruch
 \begin{sectionbox}
 
 \subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung}
@@ -171,8 +167,9 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
 	
 
 \end{sectionbox}
-
+% Manueller Spaltenumbruch
 \begin{sectionbox}
+
 \subsection{Operationen}
 	\begin{tablebox}{lll}
 		$A \subseteq B$ &  & A ist Teilmenge von B \\
@@ -246,6 +243,63 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
 	de Morganschen Gesetz & $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ \\
 	\end{tablebox}
 
+\end{sectionbox}
+% Manueller Spaltenumbruch
+\begin{sectionbox}
+
+\subsection{Kartesisches Produkt}
+Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten Paare $\left( a , b \right)$ mit $a \in A$ und $b \in B$
+
+
+\end{sectionbox}
+
+% Relationen
+% ----------------------------------------------------------------------
+\section{Relationen}
+
+\begin{sectionbox}
+
+\subsection{Definition}
+	Eine (zweistellige) Relation $R$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen $A$ und $B$.
+
+	\begin{quote}
+		$R \subseteq A\times B$
+	\end{quote}
+
+\subsection{Äquivalenzrelation}
+	Eine Äquivalenzrelation ist eine zweistellige Relation auf einer Ausgangsmenge $M$ mit bestimmten Eigenschaften.
+
+	\begin{quote}
+		$R \subseteq M\times M$
+	\end{quote}
+
+	\begin{cookbox}{Eigenschaften}
+		\item \textbf{Reflexivität}
+
+		Jedes Element der Ausgangsmenge $M$ steht mit sich selbst in Beziehung.
+
+		\begin{quote}
+			Für alle $a \in M$ gilt $\left( a , a \right) \in R$
+		\end{quote}
+
+	\item \textbf{Symmetrie}
+
+	Zu jedem Paar $\left( a , b \right)$ ist auch die Umkehrung in $R$ enthalten.
+
+	\begin{quote}
+		Wenn $\left( a , b \right) \in R$, dann ist auch $\left( b , a \right) \in R$
+	\end{quote}
+
+	\item \textbf{Transitivität}
+
+	Stehen drei Elemente verkettet in Beziehung, dann stehen sie auch direkt in Beziehung.
+
+	\begin{quote}
+		Wenn $\left( a , b \right) , \left( b , c \right) \in R$ dann ist auch $\left(a , c \right) \in R$
+	\end{quote}
+
+	\end{cookbox}
+
 \end{sectionbox}
 
 % Aussagenlogik
@@ -261,6 +315,9 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
 		$A \leftrightarrow B$ & A genau dann, wenn B & Äquivalenz oder Bijunktion \\
 		$A \rightarrow B$ & wenn A dann B & Implikation oder Subjunktion \\
 	\end{tablebox}
+
+\end{sectionbox}
+\begin{sectionbox}
 	
 \subsection{Regeln}
 	\begin{tablebox}{ll}
@@ -288,7 +345,13 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
 	\ctrule
 	de Morganschen Regeln & $\neg \left( A \vee B \right) = \neg A \wedge \neg B$ \\
 	& $\neg \left( A \wedge B \right) = \neg A \vee \neg B$ \\
-	\ctrule
+
+	\end{tablebox}
+\end{sectionbox}
+% Manueller Spaltenumbruch
+\begin{sectionbox}
+	\begin{tablebox}{ll}
+
 	Umwandeln & $A \wedge B = \neg \left( A \rightarrow \neg B \right)$ \\
 	& $A \vee B = \neg A \rightarrow B $ \\
 	& $A \rightarrow B = \neg A \vee B$ \\
@@ -301,20 +364,16 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
 	\end{tablebox}
 
 \subsection{Beispiel}
-	Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein".
-	
+	Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein". \\
 	Für die Aussage Anna liebt Peter setzen wir P und für Anna liebt Günther G. Die Frage lautet somit "Gilt P, oder gilt nicht P $\wedge$ G?". Formal bedeutet das:
-	
-	\begin{equation}
-		P \vee \neg \left( P \vee G \right)
-	\end{equation}
-
+	\begin{quote}
+		$P \vee \neg \left( P \vee G \right)$ \\
+	\end{quote}
 	
 	Da Anna mit "Nein" Antwortet muss der ganze Block negativiert werden.
-	
-	\begin{equation}
-		\neg \left( P \vee \neg \left( P \vee G \right)\right) \\
-	\end{equation}
+	\begin{quote}
+		$\neg \left( P \vee \neg \left( P \vee G \right)\right)$ \\
+	\end{quote}
 	 
 
 \end{sectionbox}
@@ -382,11 +441,25 @@ $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.866025
 
 \end{sectionbox}
 
+% Manueller Spaltenumbruch
+\columnbreak
+
 % Komplexe Zahlen
 % ----------------------------------------------------------------------
 \section{Komplexe Zahlen}
 
 \begin{sectionbox}
+
+\subsection{Notation}
+\begin{minipage}{0.39\textwidth}
+	\textbf{Kartesische Form}\\
+	$z = a+b \cdot i$
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.59\textwidth}
+	\textbf{Trigonometrische Form / Polarform}\\
+	$z =\left| z \right| \cdot \left( \cos { \varphi } + i \cdot \sin { \varphi  } \right)$
+\end{minipage}
+
 \subsection{Visualisierung}
 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
 	\includegraphics[width=\textwidth]{img/einheitskreis_komplexe_zahlen.png}
@@ -409,13 +482,6 @@ $a = 0, b > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ &   $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $
 $a = 0, b < 0 $   & $\varphi = 270^\circ $     &      $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi $        \\
 $a = 0, b = 0 $   & $\varphi = 0^\circ $    &       $\varphi = 0 $       \\ 
 \end{tablebox}
-	
-\end{sectionbox}
-
-\begin{sectionbox}
-
-
-
 
 \subsection{Potenzen von i}
 
@@ -450,7 +516,7 @@ $a = 0, b = 0 $   & $\varphi = 0^\circ $    &       $\varphi = 0 $       \\
 	{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } +\sin { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } \cdot \sin { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } i \right) \\ 
 	& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 1 } + { \varphi  }_{ 2 } \right)  } +\sin { \left( { \varphi  }_{ 1 } + { \varphi  }_{ 2 } \right)  } i \right)
 	\end{align*}
-	
+
 \textbf{Division}
 \begin{align*}
 \frac { z_{ 1 } }{ z_{ 2 } } &=\frac { a+bi }{ c+di } \quad =\frac { \left( a+bi \right)  }{ \left( c+di \right)  } \cdot \frac { \left( c-di \right)  }{ \left( c-di \right)  } \\ 
@@ -459,6 +525,10 @@ $a = 0, b = 0 $   & $\varphi = 0^\circ $    &       $\varphi = 0 $       \\
 &=\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { \left( bc-ad \right)  }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } }  i
 \end{align*}
 
+\end{sectionbox}
+% Manueller Spaltenumbruch
+\begin{sectionbox}
+
 \textbf{Potenzierung}
 \begin{align*}
 { z }^{ n } &={ \left( a+bi \right)  }^{ n } \\
@@ -466,25 +536,13 @@ $a = 0, b = 0 $   & $\varphi = 0^\circ $    &       $\varphi = 0 $       \\
 &={ \left| z \right|  }^{ n }\cdot \left( \cos { \left( n\cdot \varphi  \right)  } +\sin { \left( n\cdot \varphi  \right)  } i \right)
 \end{align*}
 
-\textbf{Wurzel} $\lbrace k \in \mathbb{N}  \vert k = 0 bis n-1 \rbrace$
+\textbf{Wurzel} $\lbrace k \in \mathbb{N}  \vert k = 0$ bis $n-1 \rbrace$
 \begin{align*}
 \sqrt[n]{z} &= \sqrt[n]{ a+bi } \\
 { z }_{ k } &= \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot \left( \cos{ \left( \cfrac{ \varphi + k \cdot 360}{n} \right) } +\sin{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n} \right)} i \right) 
 \end{align*}
 Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.
 
-\subsection{Formen}
-	\textbf{Kartesische Form:}
-	\begin{align*}
-	 { z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } & =  \left( a+bi \right) \cdot \left( c+di \right)  \\
-	  & =  ac+adi+bci+bd{ i }^{ 2 } \\
-	\end{align*}
-	
-	\textbf{Trigonometrische Form:}
-	\begin{align*}
-	{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } +\sin { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } \cdot \sin { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } i \right) \\ 
-	& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  }  } +\sin { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } \cdot \sin { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } i \right)
-	\end{align*}
 \end{sectionbox}
 
 % Vektoren und Matritzen
@@ -637,6 +695,9 @@ $\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}
 
 \end{sectionbox}
 
+% Manueller Spaltenumbruch
+\columnbreak
+
 % Grenzwerte
 % ----------------------------------------------------------------------
 \section{Grenzwerte}