Mathe-Formelsammlung/Formelsammlung.tex

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 
% LaTeX4EI Template for Cheat Sheets                                Version 1.0
%					
% Authors: Emanuel Regnath, Martin Zellner
% Contact: info@latex4ei.de
% Encode: UTF-8, tabwidth = 4, newline = LF	
% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 


% ======================================================================
% Document Settings
% ======================================================================

% possible options: color/nocolor, english/german, threecolumn
% defaults: color, english
\documentclass[german]{latex4ei/latex4ei_sheet}

% set document information
\title{Mathematik \\ Cheat Sheet}
\author{Sebastian Preisner}					% optional, delete if unchanged
\myemail{wbh@calyrium.org}			% optional, delete if unchanged
\mywebsite{www.calyrium.org}			% optional, delete if unchanged


% ======================================================================
% Begin
% ======================================================================
\begin{document}


% Title
% ----------------------------------------------------------------------
\maketitle   % requires ./img/Logo.pdf

% Tipps und Tricks
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Allgemeines}

\begin{sectionbox}
\subsection{Zahlenmengen}\label{zahlenmengen}

\begin{itemize}
\item
  $\mathbb{N}$ = natürliche Zahlen = \{1, 2, 3, \ldots{}\}
\item
  $\mathbb{Z}$ = ganze Zahlen = \{\ldots{}, -1, 0, 1, 2, \ldots{}\}
\item
  $\mathbb{Q}$ = rationale Zahlen, z.b. \(\frac{p}{q}\) (p, q \(\in \mathbb{Z}\), q \(\neq\) 0)
\item
  $\mathbb{R}$ = reelle Zahlen, „alle Zahlen``, z.b. \(\pi\)
\item
  $\mathbb{C}$ = komplexe Zahlen = \{a + ib \textbar{} i = \(\sqrt{- 1}\), a,b \(\in \mathbb{R}\) \}
\end{itemize}

\subsection{Binomische Formeln}\label{binomische-formeln}

\begin{tablebox}{ll}
1. Binomische Formel: & ${\left(a + b \right)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2}$ \\
2. Binomische Formel: & ${\left(a - b \right)}^{2} = {a}^{2} - 2ab + {b}^{2}$ \\
3. Binomische Formel: & $\left(a + b \right) \left(a - b \right) = {a}^{2} - {b}^{2}$ \\
Bnomischer Lehrsatz: & ${\left( a + b \right)}^{n} = \sum _{ k = 0 }^{ n }{ { a }^{ n-k }{ b }^{ k } } $ \\
\end{tablebox}

Den Binomischen Lehrsatz kannst du auch aus dem pascalschen Dreieck entnehmen.

\subsection{Quatratische Gleichung}

\subsubsection{p-q Formel}
Grundlage ist ein Polynom: ${x}^{2} + px + q = 0$

\begin{align*}
{x}_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ {\left(\frac{p}{2}\right)}^{2} - q }
\end{align*} 

\subsubsection{Mitternachtsformel}
Grundlage ist ein Polynom: $a{x}^{2} + bx + c = 0$

\begin{align*}
{x}_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2} - 4ac}}{2a}
\end{align*}

\subsection{Potenzrechnung}

\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\begin{align}
		{a}^{n} \cdot {a}^{m} &= {a}^{n+m} \\
		{a}^{n} \cdot {b}^{n} &= {\left(a \cdot b \right)}^{n} \\
		\frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } &= {a}^{n-m} \\
		\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} &= {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n} 
	\end{align}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\begin{align}
		{e}^{lnx} &= x \\
		{a}^{-n} &= \frac{1}{ {a}^{n} } \\
		{-a}^{-1} &= \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1} \\
		{\left({a}^{m}\right)}^{n} &= {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n}
	\end{align}
\end{minipage}

\subsection{Wurzelrechnung}

\begin{align}
	\sqrt[n]{{a}^{m}} &= {\left({a}^{m} \right)}^{\frac{1}{n}} = {a}^{\frac{m}{n}} = {\left({a}^{\frac{1}{n}} \right)}^{m} = {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m} \\
	\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} &= \sqrt[m]{{a}^{\frac{1}{n}}} = { \left( {a}^{\frac{1}{n}} \right) }^{ \frac{1}{m} } = {a}^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \\
	\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} &= \left({a}^{\frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {b}^{\frac{1}{n}} \right) = { \left( ab \right) }^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{ab} \\
\frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } &= \frac{ {a}^{ \frac{1}{n} } }{ {b}^{ \frac{1}{n} } } = { \left( \frac{a}{b} \right) }^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \text{   wenn } b  \neq 0	
\end{align}



\end{sectionbox}

% Weiterführend Allgemeines
% ----------------------------------------------------------------------
\begin{sectionbox}

\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung}
\begin{tablebox}{lll}
Division & $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$ & Multiplizieren mit dem Kehrwert \\
Multiplikation & $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$  \\
Kürzen & $\frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ & Nur Faktoren, keine Summanden!! \\
\end{tablebox}
\textbf{Trick 17:} $\frac{x-1}{x+4} = \frac{x+4-5}{x+4} = \frac{x+4}{x+4} - \frac{5}{x+4} = 1 - \frac{5}{x+4}$

\subsection{Sinus \& Cosinus}
\begin{tablebox}{c|c|c|c|c}
	Bogenmaß 			& Grad 			& $\sin{x}$  & $\cos{x}$ 			& $\tan{x}$ \\ \hline
	$0 \pi$ & $0^\circ$ & $0$ & $1$ & $0$\\ \hline
	$\cfrac{1}{6} \pi$ & $30^\circ$ & $\cfrac{1}{2}$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\cfrac{1}{\sqrt{3}}$\\ \hline
	$\cfrac{1}{4} \pi$ & $45^\circ$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $1$\\ \hline
	$\cfrac{1}{3} \pi$ & $60^\circ$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\cfrac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$\\ \hline
	$\cfrac{1}{2} \pi$ & $90^\circ$ & $1$ & $0$ & $\pm \infty$\\ \hline
	$\cfrac{2}{3} \pi$ & $120^\circ$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $-\cfrac{1}{2}$ & $-\sqrt{3}$\\ \hline
	$\cfrac{3}{4} \pi$ & $135^\circ$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $-1$\\ \hline
	$\cfrac{5}{6} \pi$ & $150^\circ$ & $\cfrac{1}{2}$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $-\cfrac{1}{\sqrt{3}}$\\ \hline
	$\cfrac{1}{1} \pi$ & $180^\circ$ & $0$ & $-1$ & $0$\\ \hline
	$\cfrac{7}{6} \pi$ & $210^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\cfrac{1}{\sqrt{3}}$\\ \hline
	$\cfrac{5}{4} \pi$ & $225^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $1$\\ \hline
	$\cfrac{4}{3} \pi$ & $240^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $-\cfrac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$\\ \hline
	$\cfrac{3}{2} \pi$ & $270^\circ$ & $-1$ & $0$ & $\pm \infty$\\ \hline
	$\cfrac{5}{3} \pi$ & $300^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\cfrac{1}{2}$ & $-\sqrt{3}$\\ \hline
	$\cfrac{7}{4} \pi$ & $315^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{2}$ & $-1$\\ \hline
	$\cfrac{11}{6} \pi$ & $330^\circ$ & $-\cfrac{1}{2}$ & $\cfrac{1}{2}\sqrt{3}$ & $-\cfrac{1}{\sqrt{3}}$\\ \hline
\end{tablebox} 

$\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.8660254$ \\ sowie $\cfrac{1}{\sqrt{3}} \cong 0577350269$


\end{sectionbox}

% Mengenlehre
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Mengenlehre}

\begin{sectionbox}

\subsection{Definition}
	Ist $E$ eine Eigenschaft, die ein Element haben kann oder auch nicht, so beschreibt man die Menge der $E$ erfüllenden Elemente durch:
	
	A = $\lbrace x \vert x $ hat Eigenschaft $ E \rbrace$
	
\subsection{Teilmengen}
	Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
	\begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen}
		\item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$
		\item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset \subset A$
		\item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$
		\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
	\end{cookbox}
	

\end{sectionbox}

\begin{sectionbox}
\subsection{Operationen}
	\begin{tablebox}{lll}
		$A \subseteq B$ &  & A ist Teilmenge von B \\
		$A \cup B$ & A vereinigt B & $A \cup B = \lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$ \\
		$A \cap B$ & A geschnitten B & $A \cap B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$ \\
		$A \setminus B$ & A ohne B & $A \setminus B = \lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$ \\
		$\mathcal{P}(A)$ & Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\
		$A \in B$ & A Element von B & A ist ein Element von B\\
		$A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
	\end{tablebox}
	
	
\subsection{Potenzmenge}
	Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen.
	\begin{quote}
	Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$.
	\end{quote}
	
	Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A)

\subsection{Kardinalität}
	Beschreibt die Menge aller Elemente einer Menge.
	
	\begin{quote}
	Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert = \infty$
	\end{quote}
	
	\begin{cookbox}{Beispiel}
		$M = \lbrace 1, 2\rbrace$ \\
		$P\left(M \right) = \lbrace \lbrace \rbrace, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 1, 2 \rbrace \rbrace $ \\
		Nicht jedoch $\lbrace 2,1 \rbrace$! Es gilt $\lbrace 1,2 \rbrace = \lbrace 2,1 \rbrace$.

	\end{cookbox}

\subsection{Komplement}
	Das Komplement ist die Differenz zwischen gegebener Menge und Grundmenge. 
	
\subsection{Lösungsalgorithmus}
\begin{cookbox}{Arbeitsablauf}
		\item $\setminus$ entfernen
		\item De Morgen Gesetze anwenden
		\item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen
	\end{cookbox}

\subsection{Vereinfachen}
	\begin{tablebox}{lll}
		$A \cup A = A$ & $A \cap \emptyset = \emptyset $ & $\overline{\overline{A}} = A$ \\
		$A \cap A = A$ & $A \cup \overline{A} = G $ & $\overline{\emptyset} = G  $ \\
		$A \cup G = G$ & $A \cap \overline{A} = \emptyset $ & $\overline{G} = \emptyset $ \\
		$A \cap G = A$ & $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} $ & $\emptyset \neq \lbrace \emptyset \rbrace $!!! \\
		$A \cup \emptyset = A $ & $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ & $ $ \\
	\end{tablebox} 
	
\subsection{Regeln}
	\begin{tablebox}{ll}
	Kommutativ & $A \cup B = B \cup A$\\
	& $A \cap B = B \cap A$ \\
	\ctrule
	Assoziativ & $A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C$ \\
	& $A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C$ \\
	\ctrule
	Distributiv & $A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ \\
	& $A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$ \\
	\ctrule
	Adjunktiv & $A \cup \left( A \cap B \right) = A $ \\
	& $A \cap \left( A \cup B \right) = A$ \\
	\ctrule
	de Morganschen Regeln & $A \setminus \left( B \cap C \right) = \left( A \setminus B \right) \cup \left( A \setminus C \right)$ \\
	& $A \setminus \left( B \cup C \right) = \left( A \setminus B \right) \cap \left( A \setminus C \right)$ \\
	\ctrule
	de Morganschen Gesetz & $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ \\
	\end{tablebox}

\subsection{Kartesisches Produkt}
Das kartesische Produkt $A\times B$ (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten Paare $\left( a , b \right)$ mit $a \in A$ und $b \in B$


\end{sectionbox}

% Relationen
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Relationen}

\begin{sectionbox}

\subsection{Definition}
	Eine (zweistellige) Relation R zwischen zwei Mengen $A\times B$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts.

	$R \subseteq A\times B$

\subsection{Äquivalenzrelation}
	Eine Äquivalenzrelation ist eine zweistellige Relation auf einer Ausgangsmenge M mit folgenden drei Eigenschaften:

\begin{itemize}

\item \textbf{Reflexivität}

	Jedes Element der Ausgangsmenge M steht sich selbst in Beziehung.

	\begin{quote}
		Für alle $a \in M$ gilt $\left( a , a \right) \in R$
	\end{quote}

\item \textbf{Symmetrie}

	Zu jedem Paar $\left( a , b \right)$ ist auch die Umkehrung in $R$ enthalten.

	\begin{quote}
		Wenn $\left( a , b \right) \in R$, dann ist auch $\left( b , a \right) \in R$
	\end{quote}

\item \textbf{Transitivität}

	Stehen drei Elemente verkettet in Beziehung, dann stehen sie auch direkt in Beziehung.

	\begin{quote}
		Wenn $\left( a , b \right) , \left( b , c \right) \in R$ dann ist auch $\left(a , c \right) \in R$
	\end{quote}

\end{itemize}

\end{sectionbox}

% Aussagenlogik
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Aussagenlogik}

\begin{sectionbox}

\subsection{Operationen}
	\begin{tablebox}{lll}
		$A \wedge B$ & A und B & Konjunktion\\
		$A \vee  B$ & A oder B & Disjunktion \\
		$A \leftrightarrow B$ & A genau dann, wenn B & Äquivalenz oder Bijunktion \\
		$A \rightarrow B$ & wenn A dann B & Implikation oder Subjunktion \\
	\end{tablebox}
	
\subsection{Regeln}
	\begin{tablebox}{ll}
	Kommutativ & $A \wedge B = B \wedge A$\\
	& $A \vee B = B \vee A$ \\
	& $A \leftrightarrow B = B \leftrightarrow A$  \\
	\ctrule
	Assoziativ & $A \wedge \left( B \wedge C \right) = \left( A \wedge B \right) \wedge C$ \\
	& $A \vee \left( B \vee C \right) = \left( A \vee B \right) \vee C$ \\
	& $A \leftrightarrow \left( B \leftrightarrow C \right) = \left( A \leftrightarrow B \right) \leftrightarrow C$ \\
	\ctrule
	Distributiv & $A \wedge \left( B \vee C \right) = \left( A \wedge B \right) \vee \left(A \wedge C \right)$ \\
	& $A \vee \left( B \wedge C \right) = \left( A \vee B \right) \wedge \left(A \vee C \right)$ \\
	& $A \rightarrow \left( B \vee C \right) = \left( A \rightarrow B \right) \vee \left(A \rightarrow C \right)$ \\
	& $A \rightarrow \left( B \wedge C \right) = \left( A \rightarrow B \right) \wedge \left(A \rightarrow C \right)$ \\
	& $\left( A \vee B \right) \rightarrow C = \left( A \rightarrow C \right) \wedge \left(B \rightarrow C \right)$ \\
	& $\left( A \wedge B \right) \rightarrow C = \left( A \rightarrow C \right) \vee \left(B \rightarrow C \right)$ \\
	\ctrule
	Adjunktiv (Absorbtion) & $A \wedge \left( A \vee B \right) = A $ \\
	& $A \vee \left( A \wedge B \right) = A$ \\
	\ctrule
	Klammerntausch & $A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) = \left( A \wedge B \right) \rightarrow C  $ \\
	\ctrule
	Kontraposition & $A \rightarrow B  = \neg B \rightarrow \neg A  $ \\
	\ctrule
	de Morganschen Regeln & $\neg \left( A \vee B \right) = \neg A \wedge \neg B$ \\
	& $\neg \left( A \wedge B \right) = \neg A \vee \neg B$ \\
	\ctrule
	Umwandeln & $A \wedge B = \neg \left( A \rightarrow \neg B \right)$ \\
	& $A \vee B = \neg A \rightarrow B $ \\
	& $A \rightarrow B = \neg A \vee B$ \\
	& $A \leftrightarrow B  = \left( A \wedge B \right) \vee \left(\neg A \wedge \neg B \right)$ \\
	& $A \leftrightarrow B  = \left( \neg A \vee B \right) \wedge \left(A \vee \neg B \right)$ \\
	\ctrule
	Vereinfachen & $A \wedge \neg A = $ immer Falsch! \\
	& $A \vee \neg A = $ immer Richtig! \\
	& $A \wedge \neg A \vee B \wedge A = B \wedge A$ \\
	\end{tablebox}

\subsection{Beispiel}
	Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein".
	
	Für die Aussage Anna liebt Peter setzen wir P und für Anna liebt Günther G. Die Frage lautet somit "Gilt P, oder gilt nicht P $\wedge$ G?". Formal bedeutet das:
	
	\begin{equation}
		P \vee \neg \left( P \vee G \right)
	\end{equation}

	
	Da Anna mit "Nein" Antwortet muss der ganze Block negativiert werden.
	
	\begin{equation}
		\neg \left( P \vee \neg \left( P \vee G \right)\right) \\
	\end{equation}
	 

\end{sectionbox}

\begin{sectionbox}

\subsection{Wahrheitstafeln}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\textbf{Konjunkiton} (UND)
	\begin{tablebox}{|l|l|l|}
		\hline
		$A $ & $B$ & $A \wedge B$ \\ \hline
		$0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
		$0$ & $1$ & $0$ \\ \hline
		$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
		$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
	\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\textbf{Disjunktion} (ODER)
	\begin{tablebox}{|l|l|l|}
		\hline
		$A $ & $B$ & $A \vee B$ \\ \hline
		$0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
		$0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
		$1$ & $0$ & $1$ \\ \hline
		$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
	\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\textbf{Bijunktion} (ist richtig wenn beide gleich sind)
	\begin{tablebox}{|l|l|l|}
		\hline
		$A $ & $B$ & $A \leftrightarrow B$ \\ \hline
		$0$ & $0$ & $1$ \\ \hline
		$0$ & $1$ & $0$ \\ \hline
		$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
		$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
	\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\textbf{Implikation} (aus A folgt B)
	\begin{tablebox}{|l|l|l|}
		\hline
		$A $ & $B$ & $A \rightarrow B$ \\ \hline
		$0$ & $0$ & $1$ \\ \hline
		$0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
		$1$ & $0$ & $0$ \\ \hline
		$1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
	\end{tablebox}
\end{minipage}

\begin{tablebox}{|l|l|l|l|l|l|l|}
		\hline
		$A $ & $B$ & $C$ & $A \wedge B$ & $A \vee B$ & $A \wedge B \rightarrow A \vee B$ & $G$\\ \hline
		$0$ & $0$ & $0$ & $0 $ & $0 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
		$0$ & $0$ & $1$ & $0 $ & $0 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
		$0$ & $1$ & $0$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
		$0$ & $1$ & $1$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
		$1$ & $0$ & $0$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
		$1$ & $0$ & $1$ & $0 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
		$1$ & $1$ & $0$ & $1 $ & $1 $ & $1 $ & $0 $ \\ \hline
		$1$ & $1$ & $1$ & $1 $ & $1 $ & $1 $ & $1 $ \\ \hline
	\end{tablebox}

\end{sectionbox}

% Komplexe Zahlen
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Komplexe Zahlen}

\begin{sectionbox}
\subsection{Visualisierung}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\includegraphics[width=\textwidth]{img/einheitskreis_komplexe_zahlen.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\includegraphics[width=\textwidth]{img/visualisierung_komplexe_zahlen.png}
\end{minipage}

	\begin{tablebox}{lll}
		$\vert z \vert = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$& $\varphi = \arctan \left( \cfrac{b}{a} \right) $ & siehe Tabelle xxx \\
		$\tan\left(\varphi\right) = \cfrac{\vert b \vert}{ \vert a \vert}$ & $\cos\left(\varphi\right) = \cfrac{a}{\vert z \vert}$  & $\sin\left(\varphi\right) = \cfrac{b}{\vert z \vert}$ \\
	\end{tablebox} 
	
	\begin{tablebox}{l|l|l}
\textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\ \hline	
$a > 0, b \ge 0$    & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a}$  \\
$a < 0$   & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 180^\circ $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a} + \pi $ \\
$a > 0, b \le 0 $ & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 360^\circ $  & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 2\pi $   \\
$a = 0, b > 0 $ & $\varphi = 90^\circ $ &   $\varphi = \cfrac{\pi}{2} $           \\
$a = 0, b < 0 $   & $\varphi = 270^\circ $     &      $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi $        \\
$a = 0, b = 0 $   & $\varphi = 0^\circ $    &       $\varphi = 0 $       \\ 
\end{tablebox}
	
\end{sectionbox}

\begin{sectionbox}




\subsection{Potenzen von i}

\begin{tablebox}{ll}
		$i = \sqrt{-1} $ & ${ i }^{ 4 } = 1 $ \\
		${ i }^{ 2 } = -1$ & ${ i }^{ 5 } = i$  \\
		${ i }^{ 3 } = -i$ & ${ i }^{ 6 } = -1 $...  \\
	\end{tablebox} 

\subsection{Rechenoperationen}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\textbf{Addition}
\begin{align*}
	 { z }_{ 1 } + { z }_{ 2 } &= \left(a + bi\right) + \left(c + di \right)\\
	 &= a + c + (b + d)i
	\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
	\textbf{Subtraktion}
	\begin{align*}
	 { z }_{ 1 } - { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) - \left(c + di \right)\\
	 &= a - c + (b - d)i
	\end{align*}
\end{minipage}

\textbf{Multiplikation}
\begin{align*}
	 { z }_{ 1 } \cdot  { z }_{ 2 } &= \left(a + bi \right) \cdot \left(c + di \right) \\
	 &= ac + adi + bci + bd { i }^{ 2 }
	\end{align*}
	\begin{align*}
	{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } +\sin { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } \cdot \sin { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } i \right) \\ 
	& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 1 } + { \varphi  }_{ 2 } \right)  } +\sin { \left( { \varphi  }_{ 1 } + { \varphi  }_{ 2 } \right)  } i \right)
	\end{align*}
	
\textbf{Division}
\begin{align*}
\frac { z_{ 1 } }{ z_{ 2 } } &=\frac { a+bi }{ c+di } \quad =\frac { \left( a+bi \right)  }{ \left( c+di \right)  } \cdot \frac { \left( c-di \right)  }{ \left( c-di \right)  } \\ 
&=\frac { ac\quad -\quad adi\quad +\quad bci\quad -\quad bd{ i }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 }-{ \left( di \right)  }^{ 2 } } \\ 
&=\frac { ac+bd+\left( bc-ad \right) i }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\ 
&=\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { \left( bc-ad \right)  }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } }  i
\end{align*}

\textbf{Potenzierung}
\begin{align*}
{ z }^{ n } &={ \left( a+bi \right)  }^{ n } \\
&={ \left( \left| z \right| \cdot \left( \cos { \varphi  } +\sin { \varphi  } i \right)  \right)  }^{ n } \\
&={ \left| z \right|  }^{ n }\cdot \left( \cos { \left( n\cdot \varphi  \right)  } +\sin { \left( n\cdot \varphi  \right)  } i \right)
\end{align*}

\textbf{Wurzel} $\lbrace k \in \mathbb{N}  \vert k = 0 bis n-1 \rbrace$
\begin{align*}
\sqrt[n]{z} &= \sqrt[n]{ a+bi } \\
{ z }_{ k } &= \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot \left( \cos{ \left( \cfrac{ \varphi + k \cdot 360}{n} \right) } +\sin{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n} \right)} i \right) 
\end{align*}
Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.

\subsection{Formen}
	\textbf{Kartesische Form:}
	\begin{align*}
	 { z }_{ 1 } \cdot { z }_{ 2 } & =  \left( a+bi \right) \cdot \left( c+di \right)  \\
	  & =  ac+adi+bci+bd{ i }^{ 2 } \\
	\end{align*}
	
	\textbf{Trigonometrische Form:}
	\begin{align*}
	{ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 } & =\left| { z }_{ 1 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } +\sin { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } i \right) \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } \cdot \sin { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } i \right) \\ 
	& =\left| { z }_{ 1 } \right| \cdot \left| { z }_{ 2 } \right| \left( \cos { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right) \cdot \cos { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  }  } +\sin { \left( { \varphi  }_{ 1 } \right)  } \cdot \sin { \left( { \varphi  }_{ 2 } \right)  } i \right)
	\end{align*}
\end{sectionbox}

% Vektoren und Matritzen
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Vektoren und Matritzen}

\begin{sectionbox}
Matritzen vom Typ (m,1) sind Vektoren (1-Spaltig). Die Zeilen eines Vektors sind auch die Dimension des Vektors. Ein Zeilen Vektor ist eine Matritze vom Typ (1, n).

\subsection{Rechenoperationen}
\subsubsection{Skalar}
Die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Matritzen mit einem Skalar (einer Zahl) c.
\begin{align*}
-1 \cdot A &= -A \\ 
c \cdot A &= A \cdot c = Ac = cA \\
{c}_{1} \cdot \left( {c}_{2} \cdot A \right) &= \left( {c}_{1} \cdot {c}_{2} \right) \cdot A \\\left({c}_{1} + {c}_{2} \right) \cdot A &= {c}_{1} \cdot A + {c}_{2} \cdot A \\
c \cdot \left(A + B \right) &= cA + cB 
\end{align*}

\subsubsection{Multiplikation}
\begin{itemize}
\item Zeile von Matrix A mal Spalte von Matrix B 
\item Matrix A muss so viele Spalten haben wie Matrix B Zeilen hat 
\item Nicht Kommutativ!! $A \cdot B \neq B \cdot A$
\end{itemize}

\subsubsection{Determinante}
\begin{itemize}
\item Ist $\det A \neq 0$ dann ist die Matrix invertierbar
\item Ist $\det A = 0$ dann ist die Matrix Linear abhängig
\item Schachbrettmuster (beginnend oben links mit + - + -..)
\item Entwicklung am einfachsten nach der Spalte oder Zeile mit den meisten 0er.
\end{itemize}

\begin{align*}
A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \\
det A &= -4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \\
&= -4 \cdot \left(1*5 - 1*3\right) = -8
\end{align*}

\subsection{Inverse Matrix}
Invertierbar sind nur Matritzen des Typ (n, n) also quadratische Matritzen.
Eine Matrix ist dann Invertierbar wenn die Determinante $ \neq $ 0 ergibt. 
\begin{tablebox}{ll}
${A}^{-1} \cdot A = I$ & ${\left( A \cdot B \right)}^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}$ \\
$A \cdot {A}^{-1} = I$ & $I \cdot A = A $ \\
$I \cdot {A}^{-1} = {A}^{-1}$ &  \\
\end{tablebox}

\end{sectionbox}


% Vektoren
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Vektoren}

\begin{sectionbox}

\subsection{Vektor Aufstellen}

\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{align*}
 A &= \begin{pmatrix} {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3} \end{pmatrix}  \\ 
 B &= \begin{pmatrix} {b}_{1} & {b}_{2} & {b}_{3} \end{pmatrix}
\end{align*}

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{align*}
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}
{b}_{1} - {a}_{1} \\
{b}_{2} - {a}_{2} \\
{b}_{3} - {a}_{3} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{minipage}

\subsection{Rechenoperation}
\begin{tablebox}{ll}
Addition & $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a}_{1} + {b}_{1} \\ {a}_{2} + {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\
Multiplikation & $ \overrightarrow{a} = c \cdot \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c {b}_{1} \\ c {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\
Betrag & $ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{{{a}_{1}}^{2} + {{a}_{1}}^{2} } $ \\
Skalarpordukt & $\overrightarrow{a} \ast \overrightarrow{b} = {a}_{1}{b}_{1} + {a}_{2}{b}_{2} + {a}_{3}{b}_{3} $ \\
Kreuzprodukt (Abb. \ref{kreuzprodukt})& $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}
{a}_{2}{b}_{3} - {a}_{3}{b}_{2} \\
{a}_{3}{b}_{1} - {a}_{1}{b}_{3} \\
{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1} \\
\end{pmatrix} $ \\
\end{tablebox}
Ist das Skalarprodukt = 0 dann sind die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander!


\end{sectionbox}

% Geraden und Ebenen
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Geraden und Ebenen}

\begin{sectionbox}
\subsection{Schnittpunkte}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Gerade}
Den Schnittpunkt von zwei geraden erhält man indem man die beiden Geradengleichungen gleich setzt.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Ebene}
Bei Einer Ebene funktioniert die Berechnung des Schnittpunktes analog zu dem einer Geraden.
\end{minipage}

\subsection{Winkel}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Gerade und Gerade}
\begin{align*}
\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right|
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Gerade und Ebene}
\begin{align*}
\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right|
\end{align*}
\end{minipage}

\subsection{Formen}
\subsubsection{Geraden}
Allgemeine Form: 
\begin{align*}
\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u}
\end{align*} 
$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ = Richtungsvektor.

\subsubsection{Ebenen}
\begin{tablebox}{ll}
Parameterform & 
$E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v} $ \\
Normalform & $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $\\
\end{tablebox}
$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$ = Spannvektor

\textbf{Umformen:}
\begin{enumerate}
	\item Parameter $\rightarrow$ Normalform
	\item $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren 
	\item $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $
	\item Koordinatenform aufstellen \\
	$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p}$
	(Normalform aus multipliziert)
\end{enumerate}


\end{sectionbox}

% Grenzwerte
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Grenzwerte}

\begin{sectionbox}
Der Grenzwert oder Limes einer Folge ist eine Zahl, der die Folge beliebig nah kommt. Eine Folge ist \textbf{konvergent} wenn sie solch einen Wert besitzt, ansonsten \textbf{divergent}

\subsection{Berechnung}
Bei $n \rightarrow \infty$ teilt man durch die variable mit der höchsten Potenz, das Ergebnis ist dann der Grenzwert.
\begin{align*}
&\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{2{n}^{2} -1}{{n}^{2} + 1}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ \frac{ 2 - \frac{1}{ {n}^{2} } }{1 + \frac{ 1 }{ {n}^{2} }} } =\frac{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ 2{n}^{2} -1 } }{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ {n}^{2} + 1} } = \frac{2-0}{1+0} = 2
\end{align*}

\textbf{Ergebnisse}
\begin{tablebox}{llll}
$\frac{1}{1} = 1 $ & $\frac{1}{0} = \infty $ & $\frac{0}{1} = 0 $ & $\frac{1}{17} = \frac{1}{17}$ \\
\end{tablebox}

\textbf{Vorsicht} bei $\lim\limits_{n \rightarrow a}$, also Limes gegen eine Zahl a. Zunächst setzt man die Zahl a ein und prüft das Ergebnis. Es darf nicht $\frac{0}{0}$ raus kommen. Es wird sich im Zähler und/oder Nenner ein $n - a$ befinden. Die Folge muss dann in Linearfaktoren zerlegt werden und danach die 3 eingesetzt werden. 
\begin{align*}
&\lim\limits_{x \rightarrow 1}{ \frac{ {x}^{3} - 6{x}^{2} + 5x }{ 2{x}^{2} + 32x - 34 } } = \lim\limits_{x \rightarrow 1}{ \frac{ {x} \left( x - 1 \right) \left( x - 5 \right) }{ 2 \left( x -1 \right) \left( x + 17 \right) } } \\
= &\lim\limits_{x \rightarrow 1}{ \frac{ x \left(x-5 \right) }{ 2 \left(x+17 \right) } } = \frac{-4}{36} = -\frac{1}{9}
\end{align*}
\begin{cookbox}{Ablauf bei $\lim\limits_{n \rightarrow a}$}
	\item Schauen ob man etwas ausklammern kann oder muss
	\item Anwendung der p-q Formel um die Nullstellen zu berechnen
	\item Sind die Nullstellen ${x}_{1} = -4$ und ${x}_{2} = 5$ dann ist die Auflösung der Binomischen Formel $\left(x + 4 \right) \left( x - 5 \right)$
	\item Binomische Formel zur Kontrolle ausmultiplizieren
	\item Nun im Zähler und Nenner kürzen
	\item Danach wird $a$ eingesetzt und das Ergebnis ist der Grenzwert.	
\end{cookbox}


\end{sectionbox}
% ======================================================================
% End
% ======================================================================
\end{document}