Matritzen, Geraden und Ebenen, Vektoren, Wurzeln

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@@ -64,6 +64,66 @@ Bnomischer Lehrsatz: & ${\left( a + b \right)}^{n} = \sum _{ k = 0 }^{ n }{ { a
 
 Den Binomischen Lehrsatz kannst du auch aus dem pascalschen Dreieck entnehmen.
 
+\subsection{Quatratische Gleichung}
+
+\subsubsection{p-q Formel}
+Grundlage ist ein Polynom: ${x}^{2} + px + q = 0$
+
+\begin{align*}
+{x}_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ {\left(\frac{p}{2}\right)}^{2} - q }
+\end{align*} 
+
+\subsubsection{Mitternachtsformel}
+Grundlage ist ein Polynom: $a{x}^{2} + bx + c = 0$
+
+\begin{align*}
+{x}_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2} - 4ac}}{2a}
+\end{align*}
+
+\subsection{Potenzrechnung}
+
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+	\begin{align}
+		{a}^{n} \cdot {a}^{m} &= {a}^{n+m} \\
+		{a}^{n} \cdot {b}^{n} &= {\left(a \cdot b \right)}^{n} \\
+		\frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } &= {a}^{n-m} \\
+		\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} &= {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n} 
+	\end{align}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+	\begin{align}
+		{e}^{lnx} &= x \\
+		{a}^{-n} &= \frac{1}{ {a}^{n} } \\
+		{-a}^{-1} &= \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1} \\
+		{\left({a}^{m}\right)}^{n} &= {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n}
+	\end{align}
+\end{minipage}
+
+\subsection{Wurzelrechnung}
+
+\begin{align}
+	\sqrt[n]{{a}^{m}} &= {\left({a}^{m} \right)}^{\frac{1}{n}} = {a}^{\frac{m}{n}} = {\left({a}^{\frac{1}{n}} \right)}^{m} = {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m} \\
+	\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} &= \sqrt[m]{{a}^{\frac{1}{n}}} = { \left( {a}^{\frac{1}{n}} \right) }^{ \frac{1}{m} } = {a}^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \\
+	\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} &= \left({a}^{\frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {b}^{\frac{1}{n}} \right) = { \left( ab \right) }^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{ab} \\
+\frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } &= \frac{ {a}^{ \frac{1}{n} } }{ {b}^{ \frac{1}{n} } } = { \left( \frac{a}{b} \right) }^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \text{   wenn } b  \neq 0	
+\end{align}
+
+
+
+\end{sectionbox}
+
+% Weiterführend Allgemeines
+% ----------------------------------------------------------------------
+\begin{sectionbox}
+
+\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung}
+\begin{tablebox}{lll}
+Division & $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ab}{bd}$ & Multiplizieren mit dem Kehrwert \\
+Multiplikation & $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$  \\
+Kürzen & $\frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ & Nur Faktoren, keine Summanden!! \\
+\end{tablebox}
+\textbf{Trick 17:} $\frac{x-1}{x+4} = \frac{x+4-5}{x+4} = \frac{x+4}{x+4} - \frac{5}{x+4} = 1 - \frac{5}{x+4}$
+
 \subsection{Sinus \& Cosinus}
 \begin{tablebox}{c|c|c|c|c}
 	Bogenmaß 			& Grad 			& $\sin{x}$  & $\cos{x}$ 			& $\tan{x}$ \\ \hline
@@ -87,37 +147,6 @@ Den Binomischen Lehrsatz kannst du auch aus dem pascalschen Dreieck entnehmen.
 
 $\cfrac{1}{2}\sqrt{2} \cong 0.70710678$ und $\cfrac{1}{2}\sqrt{3} \cong 0.8660254$ \\ sowie $\cfrac{1}{\sqrt{3}} \cong 0577350269$
 
-\subsection{Bruchrechnung}\label{bruchrechnung}
-\begin{itemize}
-\item
-  \(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) = Multiplikation mit Kehrwert =
-  \(\frac{ab}{bd}\)
-\item
-  Brüche kürzen: nur Faktoren, nicht Summanden!
-
-  \begin{itemize}
-  \item
-    \(\frac{2}{2\ *\ 3}\) = \(\frac{2}{2}\) * \(\frac{1}{3}\) =
-    \(\frac{1}{3}\)
-  \end{itemize}
-\end{itemize}
-
-\end{sectionbox}
-
-% Weiterführend Allgemeines
-% ----------------------------------------------------------------------
-\begin{sectionbox}
-
-\subsection{Potenzrechnung}
-\begin{tablebox}{ll}
-${a}^{n} \cdot {a}^{m} = {a}^{n+m}$ & $\frac{ {a}^{n} }{ {a}^{m} } = {a}^{n-m}$  \\
-${\left({a}^{m}\right)}^{n} = {\left({a}^{n}\right)}^{m} = {a}^{m \cdot n}$ & ${a}^{n} \cdot {b}^{n} = {\left(a \cdot b \right)}^{n}$ \\
-$\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} = {\left(\cfrac{a}{b}\right)}^{n}$ & ${-a}^{-1} = \cfrac{-1}{a} = \cfrac{{a}^{-1}}{-1}$\\
-${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
-\end{tablebox}
-
-\subsection{Wurzelrechnung}
-
 
 \end{sectionbox}
 
@@ -141,6 +170,10 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
 		\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
 	\end{cookbox}
 	
+
+\end{sectionbox}
+
+\begin{sectionbox}
 \subsection{Operationen}
 	\begin{tablebox}{lll}
 		$A \subseteq B$ &  & A ist Teilmenge von B \\
@@ -152,6 +185,7 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
 		$A \notin B$ & A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
 	\end{tablebox}
 	
+	
 \subsection{Potenzmenge}
 	Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen.
 	\begin{quote}
@@ -184,11 +218,6 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
 		\item Assoziativ- und Distributiv- Gesetze im Wechsel mit dem Vereinfachen
 	\end{cookbox}
 
-\end{sectionbox}
-
-
-\begin{sectionbox}
-
 \subsection{Vereinfachen}
 	\begin{tablebox}{lll}
 		$A \cup A = A$ & $A \cap \emptyset = \emptyset $ & $\overline{\overline{A}} = A$ \\
@@ -268,9 +297,6 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
 	\ctrule
 	\end{tablebox}
 
-\end{sectionbox}
-
-\begin{sectionbox}
 \subsection{Beispiel}
 	Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein".
 	
@@ -288,6 +314,10 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
 	\end{equation}
 	 
 
+\end{sectionbox}
+
+\begin{sectionbox}
+
 \subsection{Wahrheitstafeln}
 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
 	\textbf{Konjunkiton} (UND)
@@ -367,12 +397,7 @@ ${e}^{lnx} = x$ & ${a}^{-n} = \frac{1}{ {a}^{n} } $
 		$\tan\left(\varphi\right) = \cfrac{\vert b \vert}{ \vert a \vert}$ & $\cos\left(\varphi\right) = \cfrac{a}{\vert z \vert}$  & $\sin\left(\varphi\right) = \cfrac{b}{\vert z \vert}$ \\
 	\end{tablebox} 
 	
-\end{sectionbox}
+	\begin{tablebox}{l|l|l}
-
-\begin{sectionbox}
-
-
-\begin{tablebox}{l|l|l}
 \textbf{x,y} & \textbf{(in Grad)} & \textbf{(im Bogenmaß)} \\ \hline	
 $a > 0, b \ge 0$    & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a}$  \\
 $a < 0$   & $\varphi = \arctan \cfrac{b}{a} + 180^\circ $ & $\varphi = arctan \cfrac{b}{a} + \pi $ \\
@@ -382,6 +407,13 @@ $a = 0, b < 0 $   & $\varphi = 270^\circ $     &      $\varphi = \cfrac{3}{2}\pi
 $a = 0, b = 0 $   & $\varphi = 0^\circ $    &       $\varphi = 0 $       \\ 
 \end{tablebox}
 	
+\end{sectionbox}
+
+\begin{sectionbox}
+
+
+
+
 \subsection{Potenzen von i}
 
 \begin{tablebox}{ll}
@@ -438,9 +470,6 @@ $a = 0, b = 0 $   & $\varphi = 0^\circ $    &       $\varphi = 0 $       \\
 \end{align*}
 Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.
 
-\end{sectionbox}
-
-\begin{sectionbox}
 \subsection{Formen}
 	\textbf{Kartesische Form:}
 	\begin{align*}
@@ -455,6 +484,156 @@ Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k } $ für $k= 0$ bis $k= n-1$ bere
 	\end{align*}
 \end{sectionbox}
 
+% Vektoren und Matritzen
+% ----------------------------------------------------------------------
+\section{Vektoren und Matritzen}
+
+\begin{sectionbox}
+Matritzen vom Typ (m,1) sind Vektoren (1-Spaltig). Die Zeilen eines Vektors sind auch die Dimension des Vektors. Ein Zeilen Vektor ist eine Matritze vom Typ (1, n).
+
+\subsection{Rechenoperationen}
+\subsubsection{Skalar}
+Die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Matritzen mit einem Skalar (einer Zahl) c.
+\begin{align*}
+-1 \cdot A &= -A \\ 
+c \cdot A &= A \cdot c = Ac = cA \\
+{c}_{1} \cdot \left( {c}_{2} \cdot A \right) &= \left( {c}_{1} \cdot {c}_{2} \right) \cdot A \\\left({c}_{1} + {c}_{2} \right) \cdot A &= {c}_{1} \cdot A + {c}_{2} \cdot A \\
+c \cdot \left(A + B \right) &= cA + cB 
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Multiplikation}
+\begin{itemize}
+\item Zeile von Matrix A mal Spalte von Matrix B 
+\item Matrix A muss so viele Spalten haben wie Matrix B Zeilen hat 
+\item Nicht Kommutativ!! $A \cdot B \neq B \cdot A$
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Determinante}
+\begin{itemize}
+\item Ist $\det A \neq 0$ dann ist die Matrix invertierbar
+\item Ist $\det A = 0$ dann ist die Matrix Linear abhängig
+\item Schachbrettmuster (beginnend oben links mit + - + -..)
+\item Entwicklung am einfachsten nach der Spalte oder Zeile mit den meisten 0er.
+\end{itemize}
+
+\begin{align*}
+A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \\
+det A &= -4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \\
+&= -4 \cdot \left(1*5 - 1*3\right) = -8
+\end{align*}
+
+\subsection{Inverse Matrix}
+Invertierbar sind nur Matritzen des Typ (n, n) also quadratische Matritzen.
+Eine Matrix ist dann Invertierbar wenn die Determinante $ \neq $ 0 ergibt. 
+\begin{tablebox}{ll}
+${A}^{-1} \cdot A = I$ & ${\left( A \cdot B \right)}^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}$ \\
+$A \cdot {A}^{-1} = I$ & $I \cdot A = A $ \\
+$I \cdot {A}^{-1} = {A}^{-1}$ &  \\
+\end{tablebox}
+
+\end{sectionbox}
+
+
+% Vektoren
+% ----------------------------------------------------------------------
+\section{Vektoren}
+
+\begin{sectionbox}
+
+\subsection{Vektor Aufstellen}
+
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+\begin{align*}
+ A &= \begin{pmatrix} {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3} \end{pmatrix}  \\ 
+ B &= \begin{pmatrix} {b}_{1} & {b}_{2} & {b}_{3} \end{pmatrix}
+\end{align*}
+
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+\begin{align*}
+\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}
+{b}_{1} - {a}_{1} \\
+{b}_{2} - {a}_{2} \\
+{b}_{3} - {a}_{3} \\
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+\end{minipage}
+
+\subsection{Rechenoperation}
+\begin{tablebox}{ll}
+Addition & $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + {b}_{1} \\ 2 + {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\
+Multiplikation & $ \overrightarrow{a} = c \cdot \begin{pmatrix} {b}_{1} \\ {b}_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c {b}_{1} \\ c {b}_{2} \end{pmatrix} $ \\
+Betrag & $ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{{{b}_{1}}^{2} + {{b}_{1}}^{2} } $ \\
+Skalarpordukt & $\overrightarrow{a} \ast \overrightarrow{b} = {a}_{1}{b}_{1} + {a}_{2}{b}_{2} + {a}_{3}{b}_{3} $ \\
+Kreuzprodukt (Abb. \ref{kreuzprodukt})& $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}
+{a}_{2}{b}_{3} - {a}_{3}{b}_{2} \\
+{a}_{3}{b}_{1} - {a}_{1}{b}_{3} \\
+{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1} \\
+\end{pmatrix} $ \\
+\end{tablebox}
+Ist das Skalarprodukt = 0 dann sind die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander!
+
+
+\end{sectionbox}
+
+% Geraden und Ebenen
+% ----------------------------------------------------------------------
+\section{Geraden und Ebenen}
+
+\begin{sectionbox}
+\subsection{Schnittpunkte}
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+\textbf{Gerade}
+Den Schnittpunkt von zwei geraden erhält man indem man die beiden Geradengleichungen gleich setzt.
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+\textbf{Ebene}
+Bei Einer Ebene funktioniert die Berechnung des Schnittpunktes analog zu dem einer Geraden.
+\end{minipage}
+
+\subsection{Winkel}
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+\textbf{Gerade und Gerade}
+\begin{align*}
+\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right|
+\end{align*}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+\textbf{Gerade und Ebene}
+\begin{align*}
+\cos \alpha = \left| \frac{\xrightarrow{a} \cdot \xrightarrow{b} }{\vert \xrightarrow{a} \vert \cdot \vert \xrightarrow{b} \vert} \right|
+\end{align*}
+\end{minipage}
+
+\subsection{Formen}
+\subsubsection{Geraden}
+Allgemeine Form: 
+\begin{align*}
+\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u}
+\end{align*} 
+$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ = Richtungsvektor.
+
+\subsubsection{Ebenen}
+\begin{tablebox}{ll}
+Parameterform & 
+$E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v} $ \\
+Normalform & $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $\\
+\end{tablebox}
+$\overrightarrow{p}$ = Stützvektor und $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$ = Spannvektor
+
+\textbf{Umformen:}
+\begin{enumerate}
+	\item Parameter $\rightarrow$ Normalform
+	\item $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren 
+	\item $\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $
+	\item Koordinatenform aufstellen \\
+	$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p}$
+	(Normalform aus multipliziert)
+\end{enumerate}
+
+
+\end{sectionbox}
+
 % ======================================================================
 % End
 % ======================================================================