Ist $E$ eine Eigenschaft, die ein Element haben kann oder auch nicht, so beschreibt man die Menge der $E$ erfüllenden Elemente durch:
A = $\lbrace x \vert x $ hat Eigenschaft $ E \rbrace$
\subsection{Teilmengen}
Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
\begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen}
\item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$
\item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset\subset A$
\item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$
\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
\end{cookbox}
\subsection{Operationen}
\begin{tablebox}{lll}
$A \subseteq B$&& A ist Teilmenge von B \\
$A \cup B$& A vereinigt B &$A \cup B =\lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$\\
$A \cap B$& A geschnitten B &$A \cap B =\lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$\\
$A \setminus B$& A ohne B &$A \cup B =\lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$\\
$\mathcal{P}(A)$& Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\
$A \in B$& A Element von B & A ist ein Element von B\\
$A \notin B$& A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
\end{tablebox}
\subsection{Potenzmenge}
Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen.
\begin{quote}
Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset)=\lbrace\emptyset\rbrace$.
\end{quote}
Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A)
Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert=\infty$
$\vert z \vert=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$&$\varphi=\arctan\left(\cfrac{b}{a}\right)$& siehe Tabelle xxx \\
$\tan\left(\varphi\right)=\cfrac{\vert b \vert}{\vert a \vert}$&$\cos\left(\varphi\right)=\cfrac{a}{\vert z \vert}$&$\sin\left(\varphi\right)=\cfrac{b}{\vert z \vert}$\\
&=\frac{ ac\quad -\quad adi\quad +\quad bci\quad -\quad bd{ i }^{ 2 }}{{ c }^{ 2 }-{\left( di \right) }^{ 2 }}\\
&=\frac{ ac+bd+\left( bc-ad \right) i }{{ c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 }}\\
&=\frac{ ac+bd }{{ c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 }} +\frac{\left( bc-ad \right) }{{ c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 }}
\end{align*}
\textbf{Potenzierung}
\begin{align*}
{ z }^{ n }&={\left( a+bi \right) }^{ n }\\
&={\left( \left| z \right| \cdot\left( \cos{\varphi} +\sin{\varphi} i \right) \right) }^{ n }\\
&={\left| z \right| }^{ n }\cdot\left( \cos{\left( n\cdot\varphi\right) } +\sin{\left( n\cdot\varphi\right) } i \right)
\end{align*}
\textbf{Wurzel}$\lbrace k \in\mathbb{N}\vert k =0 bis n-1\rbrace$
\begin{align*}
\sqrt[n]{z}&= \sqrt[n]{ a+bi }\\
{ z }_{ k }&= \sqrt[n]{\vert z \vert}\cdot\left( \cos{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n}\right) } +\sin{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n}\right)} i \right)
\end{align*}
Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k }$ für $k=0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.
