Ist $E$ eine Eigenschaft, die ein Element haben kann oder auch nicht, so beschreibt man die Menge der $E$ erfüllenden Elemente durch:
A = $\lbrace x \vert x $ hat Eigenschaft $ E \rbrace$
\subsection{Teilmengen}
Sind A und B Mengen, so heißt A Teilmenge oder auch Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
\begin{cookbox}{Merke zu Teilmengen}
\item Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, das heißt $A \subset A$
\item Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt: $\emptyset\subset A$
\item Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$, so folgt $A \subseteq C$
\item Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
\end{cookbox}
\subsection{Operationen}
\begin{tablebox}{lll}
$A \subseteq B$&& A ist Teilmenge von B \\
$A \cup B$& A vereinigt B &$A \cup B =\lbrace x \vert x \in A$ oder $x \in B \rbrace$\\
$A \cap B$& A geschnitten B &$A \cap B =\lbrace x \vert x \in A$ und $x \in B \rbrace$\\
$A \setminus B$& A ohne B &$A \cup B =\lbrace x \vert x \in A$ und $x \notin B \rbrace$\\
$\mathcal{P}(A)$& Potenzmenge A & Potenzmenge der Menge A\\
$A \in B$& A Element von B & A ist ein Element von B\\
$A \notin B$& A kein Element von B & A ist nicht in B enthalten \\
\end{tablebox}
\subsection{Potenzmenge}
Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen.
\begin{quote}
Es sei A eine Menge. Dann versteht man unter der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge A die Menge aller Teilmengen von A. Auch die Menge $\emptyset$ hat eine Teilmenge es gilt: $\mathcal{P}(\emptyset)=\lbrace\emptyset\rbrace$.
\end{quote}
Berechnet wird die Potenzmenge mit Hilfe von $2^{\vert A \vert}$ (Zwei hoch Kardinalität von A)
Es sei A eine endliche Menge. Dann versteht man unter der Kardinalität oder auch Mächtigkeit von A die Anzahl der Elemente von A und schreibt dafür $\vert A \vert$, manchmal auch $\#A$. Hat A unendlich viele Elemente, so sagt man, A hat die Kardinalität unendlich, und schreibt $\vert A \vert=\infty$
$A \leftrightarrow B$& A genau dann, wenn B & Äquivalenz oder Bijunktion \\
$A \rightarrow B$& wenn A dann B & Implikation oder Subjunktion \\
\end{tablebox}
\subsection{Regeln}
\begin{tablebox}{ll}
Kommutativ &$A \wedge B = B \wedge A$\\
&$A \vee B = B \vee A$\\
&$A \leftrightarrow B = B \leftrightarrow A$\\
\ctrule
Assoziativ &$A \wedge\left( B \wedge C \right)=\left( A \wedge B \right)\wedge C$\\
&$A \vee\left( B \vee C \right)=\left( A \vee B \right)\vee C$\\
&$A \leftrightarrow\left( B \leftrightarrow C \right)=\left( A \leftrightarrow B \right)\leftrightarrow C$\\
\ctrule
Distributiv &$A \wedge\left( B \vee C \right)=\left( A \wedge B \right)\vee\left(A \wedge C \right)$\\
&$A \vee\left( B \wedge C \right)=\left( A \vee B \right)\wedge\left(A \vee C \right)$\\
&$A \rightarrow\left( B \vee C \right)=\left( A \rightarrow B \right)\vee\left(A \rightarrow C \right)$\\
&$A \rightarrow\left( B \wedge C \right)=\left( A \rightarrow B \right)\wedge\left(A \rightarrow C \right)$\\
&$\left( A \vee B \right)\rightarrow C =\left( A \rightarrow C \right)\wedge\left(B \rightarrow C \right)$\\
&$\left( A \wedge B \right)\rightarrow C =\left( A \rightarrow C \right)\vee\left(B \rightarrow C \right)$\\
\ctrule
Adjunktiv (Absorbtion) &$A \wedge\left( A \vee B \right)= A $\\
&$A \vee\left( A \wedge B \right)= A$\\
\ctrule
Klammerntausch &$A \rightarrow\left( B \rightarrow C \right)=\left( A \wedge B \right)\rightarrow C $\\
\ctrule
Kontraposition &$A \rightarrow B =\neg B \rightarrow\neg A $\\
\ctrule
de Morganschen Regeln &$\neg\left( A \vee B \right)=\neg A \wedge\neg B$\\
&$\neg\left( A \wedge B \right)=\neg A \vee\neg B$\\
\ctrule
Umwandeln &$A \wedge B =\neg\left( A \rightarrow\neg B \right)$\\
&$A \vee B =\neg A \rightarrow B $\\
&$A \leftrightarrow B =\left( A \wedge B \right)\vee\left(\neg A \wedge\neg B \right)$\\
&$A \leftrightarrow B =\left(\neg A \vee B \right)\wedge\left(A \vee\neg B \right)$\\
\ctrule
\end{tablebox}
\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}
\subsection{Beispiel}
Günter fragt Anna: "Libst du Peter, oder ist es nicht so, dass du Peter oder mich liebst?", darauf Antwortet Anna "Nein".
Für die Aussage Anna liebt Peter setzen wir P und für Anna liebt Günther G. Die Frage lautet somit "Gilt P, oder gilt nicht P $\wedge$ G?". Formal bedeutet das:
\begin{equation}
P \vee\neg\left( P \vee G \right)
\end{equation}
Da Anna mit "Nein" Antwortet muss der ganze Block negativiert werden.
\begin{equation}
\neg\left( P \vee\neg\left( P \vee G \right)\right) \\
\end{equation}
\subsection{Wahrheitstafeln}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Konjunkiton} (UND)
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
\hline
$A $&$B$&$A \wedge B$\\\hline
$0$&$0$&$0$\\\hline
$0$&$1$&$0$\\\hline
$1$&$0$&$0$\\\hline
$1$&$1$&$1$\\\hline
\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Disjunktion} (ODER)
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
\hline
$A $&$B$&$A \vee B$\\\hline
$0$&$0$&$0$\\\hline
$0$&$1$&$1$\\\hline
$1$&$0$&$1$\\\hline
$1$&$1$&$1$\\\hline
\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Bijunktion} (ist richtig wenn beide gleich sind)
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
\hline
$A $&$B$&$A \leftrightarrow B$\\\hline
$0$&$0$&$1$\\\hline
$0$&$1$&$0$\\\hline
$1$&$0$&$0$\\\hline
$1$&$1$&$1$\\\hline
\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\textbf{Implikation} (aus A folgt B)
\begin{tablebox}{|l|l|l|}
\hline
$A $&$B$&$A \rightarrow B$\\\hline
$0$&$0$&$1$\\\hline
$0$&$1$&$1$\\\hline
$1$&$0$&$0$\\\hline
$1$&$1$&$1$\\\hline
\end{tablebox}
\end{minipage}
\begin{tablebox}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
$A $&$B$&$C$&$A \wedge B$&$A \vee B$&$A \wedge B \rightarrow A \vee B$&$G$\\\hline
$\vert z \vert=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$&$\varphi=\arctan\left(\cfrac{b}{a}\right)$& siehe Tabelle xxx \\
$\tan\left(\varphi\right)=\cfrac{\vert b \vert}{\vert a \vert}$&$\cos\left(\varphi\right)=\cfrac{a}{\vert z \vert}$&$\sin\left(\varphi\right)=\cfrac{b}{\vert z \vert}$\\
&=\frac{ ac\quad -\quad adi\quad +\quad bci\quad -\quad bd{ i }^{ 2 }}{{ c }^{ 2 }-{\left( di \right) }^{ 2 }}\\
&=\frac{ ac+bd+\left( bc-ad \right) i }{{ c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 }}\\
&=\frac{ ac+bd }{{ c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 }} +\frac{\left( bc-ad \right) }{{ c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 }}
\end{align*}
\textbf{Potenzierung}
\begin{align*}
{ z }^{ n }&={\left( a+bi \right) }^{ n }\\
&={\left( \left| z \right| \cdot\left( \cos{\varphi} +\sin{\varphi} i \right) \right) }^{ n }\\
&={\left| z \right| }^{ n }\cdot\left( \cos{\left( n\cdot\varphi\right) } +\sin{\left( n\cdot\varphi\right) } i \right)
\end{align*}
\textbf{Wurzel}$\lbrace k \in\mathbb{N}\vert k =0 bis n-1\rbrace$
\begin{align*}
\sqrt[n]{z}&= \sqrt[n]{ a+bi }\\
{ z }_{ k }&= \sqrt[n]{\vert z \vert}\cdot\left( \cos{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n}\right) } +\sin{\left( \cfrac{\varphi + k \cdot 360}{n}\right)} i \right)
\end{align*}
Es gibt immer $n$ Ergebnisse die in ${ z }_{ k }$ für $k=0$ bis $k= n-1$ berechnet werden.
